矩阵特征值和特征向量的研究解析

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1、矩阵特征值与特征向量的研究17目录一矩阵特征值与特征向量研究的背景及意义3二、特征值与特征向量的定义及其性质42.1定义42.2性质4三特征值及其特征向量的求法及其MATLAB的实现53.1QR方法53.1.1基本原理53.1.2具体实例53.2用多项式的方法来求解特征值10四特征值与特征向量的简单应用12五小结1617一矩阵特征值与特征向量研究的背景及意义矩阵的特征值与特征向量是高等代数的重要组成部分，通过对矩阵特征值与特征向量的性质介绍，以及对矩阵特征值与特征向量理论的分析，将特征值与特征向量应用于方程组的求解问题是高等代数中的重要内容。随着社会到的进步，计算机的飞速发展，高等

2、代数这门课程已经渗透到各行各业里面。在许多方面都有着很重要的应用。在多数高等代数教材中,特征值与特征向量描述为线性空间中线性变换A的特征值与特征向量。从理论上来讲只要求出线性变换A的特征值和特征向量就可以知道矩阵A的特征值和特征向量。因此求矩阵的特征值与特征向量就变得尤为重要的引入是为了研究线性空间中线性变换A的属性。在物理，力学，工程技术中有很多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值和特征向量的问题。现在教材中给出的求解特征值和特征性向量的方法基本上都是通过求解特方程来求解。有时候特征方程会极其的麻烦。有一些文章中虽然给了初等行列变换的方法来较少计算量，但是仍未摆脱参数行列式计算的问

3、题。本文中我们将首先讲解有关特征值和特征向量的相关知识，另外介绍一些简单实用的方法来求解矩阵的特征值与特征向量。17二、特征值与特征向量的定义及其性质2.1定义设A是n阶方阵，如果存在数λ和n维非零向量x，使得Ax=λx成立，则称λ为A的特征值，x是A的对应特征值λ的特征向量。2.2性质（1）λ0是A的特征值fAλ0=λoE-A=0（2）α是A的属于特征值λ0的特征向量的重要条件为α为齐次方程组λ0E-Ax=0非零解。（3）n阶矩阵在复数域上恰好有n个特征值（重根按重数计算）。（4）n阶矩阵A为可逆矩阵的重要条件是A的特征值全不为0。（5）A与AT有相同的特征值。（6）设A是可逆矩

4、阵，如果λ0是A的一个特征值，对应的特征向量为α，则λ0-1是A-1的一个特征值，对应的特征向量仍然为α。17三特征值及其特征向量的求法及其MATLAB的实现3.1QR方法3.1.1基本原理QR算法是计算矩阵特征值问题最有效的方法之一，也是普遍被用于工程实践中的一种方法。QR方法的思想是基于对于实的非奇异矩阵都可以分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R的乘积，而且当R的对角元素符号取定时，分解是唯一的。QR算法的基本步骤如下（1）令A=A1，对A1进行正交分解，分解为正交矩阵Q1和上三角矩阵R1的乘积：A1=Q1R1（2）然后将得到的因式矩阵Q1和R1反序相乘，得到：A2=R1Q1（3）以

5、A2代替A1，重复以上步骤得到A3，所以得到的QR算法的计算公式为：Ak=QkRkAk+1=RkQk性质1所有的Ak都相似，它们具有相同的特征值。性质2Ak的QR分解式为Ak=QkRk其中Qk=Q1Q2….Qk,Rk=R1R2……Rk3.1.2具体实例例1用QR算法求矩阵A=5-2-5-110-32022-3001-217的特征值。解：令A1=A,用施密特正交化过程将A1分解为A1=Q1R1=0.9806-0.03770.1932-0.10380.19610.1887-0.8804-0.419200.98130.17610.0704000.3962-0.89895.0092-1.9

6、612-5.4912-0.392202.03811.5852-2.5288002.5242-3.12940000.7822将R1与Q1逆序相乘，求出A2A2=R1Q1=4.65175.95081.52990.23900.39771.9401-2.51711.536102.4770-0.85253.1294000.3099-0.7031用A1代替A重复上面过程，计算11次得A12=4.0000***01.8789-3.5901*01.32900.1211*000-1.0000由A12不难看出，矩阵A的一个特征值是4，另一个特征值是-1，其他两个特征值是方程1.8789-λ-3.590

7、11.32900.1211-λ=0的根，求得为1+2i,1-2i例2已知矩阵A=210131014,采用QR方法计算A的全部特征值。程序代码如下function[namda,time,data_na]=tzh(A,tol)17ifnargin==1;tol=1e-7end%设置初始误差使之能进入循环wucha=1%记录迭代的次数time=0%如果误差没有满足精度，并且迭代次数在500次以内，可以循环迭代%否则跳出循环while(wucha>tol)&(time<500