矩阵的特征值、特征向量和矩阵的相似

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1、线性代数教程主讲人：肖继红Tel：13709036845矩阵线性方程组行列式向量组一一对应一一对应特征问题与二次型线性代数教程第五章矩阵的特征值、特征向量和矩阵的相似SichuanUniversityJinjiangCollege线性代数教程第五章矩阵的特征值、特征向量和相似第一节矩阵的特征值和特征向量SichuanUniversityJinjiangCollege特征值和特征向量犹如世界上每个人都有自己的特点一样，每个矩阵也有其内在的特性。可逆性、秩数、初等变换的结果等属于矩阵的代数性质，而特征值

2、、特征向量偏向于反映矩阵的几何特性。A是n阶矩阵，x是n维列向量，则Ax也是n维列向量，当然它已经改变了原来的x的大小与方向。有没有一个特别的非零向量x，使得向量Ax仅仅使向量x伸长了若干倍而没有改变其方向呢？这个使Ax=λx成立的特别的向量因矩阵A而定，反映A的内在特性，故称之为特征向量，相应的数称为特征值。第五章矩阵的特征值、特征向量和相似§5.1矩阵的特征值和特征向量特征值和特征向量的应用比如Google公司的成名作PageRank，也是通过计算一个用矩阵表示的图（这个图代表了整个Web各个网

3、页“节点”之间的关联）的特征向量来对每一个节点打“特征值”分；再比如很多人脸识别，数据流模式挖掘分析等方面，都有应用，特征向量不仅在数学上，在物理，材料，力学等方面（应力、应变张量）都能一展拳脚，有老美曾在一本线代书里这样说过“有振动的地方就有特征值和特征向量”。振动如：桥梁或建筑物的振动、机械振动、电磁振动等。6柯西[法]A.L.Cauchy(1789.8-1857.5)凯莱[英]A.Cayley(1821.8-1895.1)克莱伯施[德]R.F.A.Clebsch(1833.1-1872.11)

4、约当[法]M.E.C.Jordan(1838.1-1922.1)给出了特征方程的术语,证明了任意阶实对称矩阵都有实特征值；给出了相似矩阵的概念,证明了相似矩阵有相同的特征值方阵的特征方程和特征根(特征值)的一些结论证明了对称矩阵的特征根性质矩阵化为标准型的问题7第五章矩阵的特征值、特征向量和相似§5.1矩阵的特征值和特征向量定义5.1.1一、特征值与特征向量的基本概念例如，8第五章矩阵的特征值、特征向量和相似§5.1矩阵的特征值和特征向量说明1、特征值问题是针对方阵而言的；2、特征向量必须是非零向量

5、；3、特征向量既依赖于矩阵A，又依赖于特征值一个特征向量只能属于一个特征值，证明如下：☎9第五章矩阵的特征值、特征向量和相似§5.1矩阵的特征值和特征向量二、特征值与特征向量的性质性质5.1.1证明所以kX0也是A的属于的特征向量。10第五章矩阵的特征值、特征向量和相似§5.1矩阵的特征值和特征向量性质5.1.2若X1,X2是A的属于同一个特征值的特征向量,且X1+X2≠0，则X1+X2也是A的属于特征向量。由此可以推广到多个特征向量的情况：如果对于A属于统一特征值的特征向量X1,X2,…,Xt的

6、非零线性组合也是A的属于0的特征向量。11第五章矩阵的特征值、特征向量和相似§5.1矩阵的特征值和特征向量性质5.1.3设是A的特征值，是矩阵A的属于的特征向量，m为正整数,则是Am的特征值。特征向量为.证明：由已知.则有假设，则即是Am的特征值。12第五章矩阵的特征值、特征向量和相似§5.1矩阵的特征值和特征向量性质5.1.4设A是可逆矩阵，则A的特征值，且是A-1的一个特征值.证明：设有AX0=0X0.若0=0，则齐次线性方程组AX0=0中

7、A

8、≠0和X0=0与特征向量的定义矛盾，所以0

9、≠0又由即证。13第五章矩阵的特征值、特征向量和相似§5.1矩阵的特征值和特征向量AX=X(I–A)X=0

10、I–A

11、=0特征方程(characteristicequation)

12、I–A

13、=–a11–a12…–a1n–a21–a22…–a2n…………–an1–an2…–ann特征多项式(characteristicpolynomial)I–A特征矩阵特征值特征向量14第五章矩阵的特征值、特征向量和相似§5.1矩阵的特征值和特征向量三、特征值和特征向量的求法定理5.1.2.0为A的特征

14、值

15、0I–A

16、=0.定理5.1.1.X0为A的属于0的特征向量(0I–A)X0=0.1.理论依据15即0是特征多项式f()=

17、I-A

18、的根。第五章矩阵的特征值、特征向量和相似§5.1矩阵的特征值和特征向量于是由特征值、特征向量的性质和上述定理可得到求n阶矩阵A的特征值、特征向量的一般步骤：(1)计算特征多项式

19、I–A

20、并求出

21、I–A

22、=0的全部根，得到A的全部特征值1,2,…,m(可能有重根).(2)对于每一个不同的特征值j,求出齐次线性方