矩阵的特征值和特征向量

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1、2021/7/115.1矩阵的特征值和特征向量2021/7/125.1.1特征值和特征向量的基本概念定义设A为数域F上的n阶矩阵,如果存在数lF和非零的n维列向量X,使得AX=lX就称l是矩阵A的特征值,X是A的属于(或对应于)特征值l的特征向量.注意:特征向量X0;特征值问题是对方阵而言的,本章的矩阵如不加说明,都是方阵.2021/7/13AX=lX根据定义,n阶矩阵A的特征值,就是齐次线性方程组(lI-A)X=0有非零解的l值.即满足方程det(lI-A)=0即的l都是矩阵A的特征值.因此,特征值是l的多项式de

2、t(lI-A)的根.2021/7/14AX=lX,det(lI-A)=0(5.2)定义设n阶矩阵A=(aij),则称为矩阵A的特征多项式,lI-A称为A的特征矩阵,(5.2)式称为A的特征方程.2021/7/15显然,n阶矩阵A的特征多项式是l的n次多项式.特征多项式的k重根也称为k重特征值.当n5时,特征多项式没有一般的求根公式,即使是三阶矩阵的特征多项式,一般也难以求根,所以求矩阵的特征值一般是三阶行列式求特征值,一般用0,1,-1,2,-2进行尝试先得到一个根,则剩下的两个根可用解一元二次方程的办法解.2021/

3、7/16例解验证：是否为A的特征向量2021/7/17注1注2注3如果是A对应于特征值的特征向量，则也是A对应于特征值的特征向量。2021/7/18注5矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的注4如果是A对应于特征值的线性无关特征向量，则也是A对应于特征值的特征向量。2021/7/19例求下列矩阵的特征值和特征向量解A的特征多项式为A的特征值为即对应的特征向量可取为2021/7/110对应的特征向量可取为A属于的全部特征向量：A属于的全部特征向量：2021/7/111例求矩阵的特征值和特征向量.解矩阵A的特征多项式为A

4、的特征值为l1=2,l2，3=1(二重特征值).2021/7/112当l1=2时,由(l1I-A)X=0,即得其基础解系为X1=(0,0,1)T,因此k1X1(k10为常数)是A的对应于l1=2的特征向量.2021/7/113当l2=1时,由(l2I-A)X=0,即得其基础解系为X2=(1,2,-1)T,因此k2X2(k20为常数)是A的对应于l2=1的特征向量.2021/7/114例求矩阵的特征值和特征向量解A的特征多项式为A的特征值为2021/7/115得基础解系得基础解系2021/7/116例主对角元为a11,

5、a22,...,ann的对角阵A或上(下)三角阵B的特征多项式是

6、lI-A

7、=

8、lI-B

9、=(l-a11)(l-a22)...(l-ann),故A,B的n个特征值就是n个主对角元.2021/7/1172、n阶矩阵A=(aij)的n个特征值为l1,l2,...,ln.则5.1.2特征值和特征向量的性质1、设n阶矩阵A可逆的充要条件是它的每一个特征值均不为0.2021/7/118矩阵的特征值和特征向量还有以下性质:3、若l是矩阵A的特征值,X是A属于l的特征向量,则(i)kl+a是kA+aI的特征值(k,a是任意常数),(

10、ii)lm是Am的特征值(m是正整数);(iii)当A可逆时,l-1是A-1的特征值;(iv)当A可逆时,detA/l是A*的特征值.且X仍是矩阵kA+aI,Am,A-1,A*的分别对应于特征值kl+a,lm,1/l,detA/l的特征向量.2021/7/119证已知AX=lX(i)kl是kA的特征值(k是任意常数),这是因为(kA)X=k(AX)=klX,即kl是kA的特征值,X是kA的属于特征值kl的特征向量.(ii)A(AX)=A(lX)=l(AX)=l(lX),即A2X=l2X再继续上述步骤m-2次,就得Am

11、X=lmX.(iii)当A可逆时,l0,由AX=lX可得A-1(AX)=A-1(lX)=lA-1X因此A-1X=l-1X故l-1是A-1的特征值,且X也是A-1对应于l-1的特征向量2021/7/1204、矩阵A和AT的特征值相同.证因为(lI-A)T=(lI)T-AT=lI-AT所以det(lI-A)=det(lI-AT)因此A和AT有完全相同的特征值.2021/7/121定理设阶方阵A有互不相同的特征值，(λiI–A)x=0的基础解系为则；；……；线性无关推论6、设A为n阶方阵，,若λ为A的特征值，则是f(A)的特

12、征值7、设λ为A的k重特征值,A关于λ的线性无关的特征向量的最大个数为s，则1sk(矩阵A对应于单特征值的线性无关的特征向量有且只有一个）2021/7/122例设A是一个三阶方阵，1，2，3是它的三个特征值，试求：(1)A对角线上元素之和；(2)

13、A

14、；(3)

15、A2+A+I

16、解设A=(aij)由定理知(1)a11