矩阵特征值问题的解法

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1、Numericaleigenvalueofmatrix矩阵特征值问题的解法1给出.若有使得：则称为矩阵的特征值,为相应的特征向量。特征值为特征方程的根。2与矩阵想干的一些重要结果:eigenvalueofmarix.doc3特征值的估计与扰动问题特征值的估计称之为Gerschgorin圆盘（盖尔圆）.Gerschgorin圆盘定理为n阶实方阵,则在的某个Gerschgorin圆盘之中.的任一特征值必落4第二圆盘定理设为阶实方阵，如果的个Gerschgorin圆盘与其他圆盘不相连，则恰好有的个特征值落在该个圆盘的并集之中

2、，即：特别地：孤立圆盘仅含有一个特征值.为的一个重新排列,,则中含有的个特征值.5试讨论A的特征值的分布.解由A确定的3个圆盘分别为所以315-2<22-63<-2例1设矩阵R1=-41,R2=2,R3=+42xy0-2-4-62345实际上，1=4.20308,2=-0.442931,3=-3.760106关于实对称矩阵的极大—极小定理为矩阵关于向量的Rayleigh（雷利）商.为阶实对称矩阵，则其特征值皆为实数，记做：并且存在规范正交特征向量系，满

3、足：设为阶实矩阵，.我们称定义7由于，对于任意，可以取，使得：.证明:假设为的规范正交特征向量组，则对任何向量，有设为阶实对称矩阵，其特征值为，则定理8于是因而,特别地，若取，这时从而.同理可证9按模最大特征值和特征向量的乘幂法设A是n阶矩阵，其n个特征值按模从大到小排序为又假设关于λ1，λ2，…，λn的特征向量v1，v2，…，vn线性无关.10任意取定初始向量x0…………..建立迭代公式：11因为故当k→∞时，xk→λ1ka1v1.因此，xk可看成是关于特征值λ1的近似特征向量有一严重缺点，当

4、1

5、>1（或

6、1

7、

8、<1时）{Vk}中不为零的分量将随K的增大而无限增大，计算机就可能出现上溢（或随K的增大而很快出现下溢）12在实际计算时，须按规范法计算，每步先对向量xk进行“规范化”。迭代格式改为13对任意给定的初始向量x0类似地14当1>0时当1<0时15按模最大特征值λ1及其相应的特征向量v1的乘幂法的计算公式：16定理设ARnn为非亏损矩阵，其主特征根1为实根，且

9、1

10、>

11、2

12、…

13、n

14、。则从任意非零向量(满足)出发,迭代收敛到主特征向量，收敛到1。每个不同的特征根只对应一个Jordan块注：结论对重根1

15、=2=…=r成立。若有1=2，则此法不收敛。任取初始向量时，因为不知道，所以不能保证10，故所求得之　不一定是　，而是使得的第一个　，同时得到的特征根是m。17算法:乘幂法Step1Setk=1;Step2Findindexsuchthat

16、V0[index]

17、=

18、

19、V0

20、

21、;Step3SetV0[]=V0[]/V0[index];/*规格化V0*/Step4While(kNmax)dosteps5-11Step5V[]=AV0[];/*由Uk1计算Vk*/Step6=V[index];Step

22、7Findindexsuchthat

23、V[index]

24、=

25、

26、V

27、

28、;Step8IfV[index]==0thenOutput(“Ahastheeigenvalue0”;V0[]);STOP./*矩阵是奇异的，用户尝试新的V0*/Step9err=

29、

30、V0V/V[index]

31、

32、;V0[]=V[]/V[index];/*计算Uk*/Step10If(err

33、ationsexceeded);STOP./*失败*/18求矩阵A的按模最大的特征值解取x(0)=(1,0)T,计算x(k)=Ax(k-1),结果如下例1kx1(k)x2(k)x1(k)/x1(k-1)x2(k)/x2(k-1)01010.250.220.102500.0833330.410.4166530.0422920.0343890.412600.4126740.0174510.0141900.412630.41263可取0.41263,x1(0.017451,0.014190)T.19如用规范化乘幂法解例

34、1,仍取u(0)=v(0)=(1,0)T,则有故可取10.412627,x1(1,0.813138)T.k01234k0.250.410.4126020.412627u1(k)11111u2(k)00.80.8130080.8131360.813138用乘幂法求A的按模最大的特征值和相应特征向量.例3设解取初值u(0)=v