浅谈矩阵的特征向量特征值的意义.pdf

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1、应用科技2013年第30期科技创新与应用浅谈矩阵的特征向量特征值的意义徐克龙（西华大学数学与计算机学院，四川成都611930）摘要：描述了矩阵的特征向量和特征值的定义，简述了矩阵的特征向量特征值在数学、物理、信息和哲学上的一些意义，对于从多角度深入理解矩阵的特征向量特征值有积极意义。关键词：线性代数；矩阵；特征向量；特征值1线性变换与矩阵的特征向量特征值[1]增强（或减弱）特征向量的作用。进一步的，如果矩阵持续地叠代作用于向线性变换是指一个n维列向量被左乘一个n阶矩阵后得到另一个n量，那么特征向量

2、的就会凸现出来。各种不同的信号（向量）进入这个系统维列向量，它是同维向量空间中的把一个向量线性映射成了另一个向量。中后，系统输出的信号（向量）就会发生相位滞后、放大、缩小等各种纷乱即的变化。但只有特征信号（特征向量）被稳定的发生放大（或缩小）的变化。Y=AX(Y，X∈RnA=(a)A=(a))如果把系统的输出端口接入输入端口，那么只有特征信号（特征向量）第ijijn×n如果对于数λ，存在一个n维零列向量X(即X∈Rn且X≠0)，使得二次被放大（或缩小）了，其他的信号如滞后的可能滞后也可能超前。AX

3、=λX例如一个驻波通过一条绳子，绳子上面的每个点组成一个无穷维的则称数λ为矩阵A的一个特征值，X为矩阵A对应于λ的特征向向量，这个向量的特征向量就是特征函数sin(t)，因为是时变的，就成了特量。征函数。每个点特征值就是每个点在特定时刻的sin(x+t)取值。再如，从太在线性代数中研究线性变换就是研究相应的矩阵A，矩阵A的特征空中某个角度看地球自转，虽然每个景物的坐标在不断的变换，但是这种向量和特征值是线性变换研究的重要内容。变换关于地球的自传轴有对称性，也就是关于此轴的平移和拉伸的坐标2在数学上

4、的意义变换不敏感。所以地球自转轴，是地球自转这种空间变换的一个特征向矩阵乘法对应了一个变换，是把任意一个向量变成另一个方向或长量。矩阵的特征向量特征值在材料、力学、电学等方面也有重要的应用。度都大多不同的新向量。在这个变换的过程中，原向量主要发生旋转、伸4信息处理上的意义缩的变化。如果矩阵对某一个向量或某些向量只发生伸缩变换，不对这些由于这些投影的大小代表了A在特征空间各个分量的投影，那么我向量产生旋转的效果，那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量，伸缩的们可以使用最小2乘法，求出投影能量最大的那些

5、分量，而把剩下的分量比例就是特征值。这里可以将特征值为负，特征向量旋转180度，也可看去掉，这样最大限度地保存了矩阵代表的信息，同时可以大大降低矩阵成方向不变，伸缩比为负值。所以特征向量也叫线性不变量。特征向量的需要存储的维度，简称PCA方法。[3]不变性是他们变成了与其自身共线的向量，他们所在的直线在线性变换线性变换PCA可以用来处理图像。如2维的人像识别：我们把图像下保持不变；特征向量和他的变换后的向量们在同一根直线上，变换后的A看成矩阵，进一步看成线性变换矩阵，把这个训练图像的特征矩阵求出向

6、量们或伸长或缩短，或反向伸长或反向缩短，甚至变成零向量（特征值来(假设取了n个能量最大的特征向量)。用A乘以这个n个特征向量，得为零时）[2]。到一个n维矢量a，也就是A在特征空间的投影。今后在识别的时候同一对对称矩阵而言，可以求得的特征向量是正交的，就是把矩阵A所类的图像(例如，来自同一个人的面部照片)，认为是A的线性相关图像，它代表的空间，进行正交分解，使得A的向量集合可以表示为每个向量a在乘以这个特征向量，得到n个数字组成的一个矢量b，也就是B在特征空各个特征向量上面的投影长度。间的投影。那

7、么a和b之间的距离就是我们判断B是不是A的准则。例如，对于x,y平面上的一个点(x,y)，我对它作线性变换A，又如Google公司的PageRank，也是通过计算一个用矩阵表示的图。
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x这个图代表了整个Web各个网页“节点”之间的关联。用特征向量来对每A,一个节点打“特征值”分0101yy5哲学上的意义这个线性变换相当于关于横轴x做镜像。我们可以求出矩阵A的特矩阵的特征向量特征值是把向量和矩阵作为一个整体，从部分的性

8、征向量有两个[1,0]和[0,1]，也就是x轴和y轴。什么意思呢?在x轴上的投质出发，推到出整体的性质，再由整体的性质得到各种应用和物理上的概影，经过这个线性变换，没有改变。在y轴上的投影，乘以了幅度系数-1，念。如何知道一个矩阵的局部其实对应于另一个矩阵上不同位置的局部并没有发生旋转。两个特征向量说明了这个线性变换矩阵对于x轴和y呢?这仍然只是一个主观的先验的直觉主义的判定!计算机不过是纸和轴这两个正交基是线性不变的。对于其他的线性变换矩阵，我们也可以笔的变形，它不能理解意义——