矩阵的特征值、特征向量.ppt

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1、第一节矩阵的特征值和特征向量相似矩阵及二次型一、特征值和特征向量的概念二、特征值和特征向量的性质三、小结思考题返回上页下页一、特征值和特征向量的概念则称：是矩阵A的特征值；定义1设A是n阶矩阵，如果存在数和非零向量x,使得x是A的对应于(或属于)特征值的特征向量.返回上页下页(2)由于亦可写成齐次线性方程组说明(1)特征向量xO；特征值问题是对方阵而言的；因此，使得有非零解的值都是矩阵A的特征值.即，使得的值都是矩阵A的特征值.返回上页下页定义2设n阶矩阵，记则，称为A的特征多项式；称为A

2、的特征矩阵.称为A的特征方程；上页下页返回说明(n阶矩阵A的特征多项式)(1)是的n次多项式，若设其一般形式为则，的系数；的系数；常数项.返回上页下页(2)求特征值，就是求特征方程的根；(3)有n个根(其中有些根可能相同)，其中的k重根也称为k重特征值.(4)需要注意，即使是n阶实矩阵，但其特征方程可能有复数根，相应的，特征向量也可能是复向量.特征向量(是全体n维复向量构成的向量空间)即，一般而言，特征值(复数域)返回上页下页例1求矩阵的特征值和特征向量.解A的特征多项式为令，得A的3个特征值：(

3、单重特征值)(二重特征值)返回上页下页将特征值分别代入，求出特征向量：①当时，解方程组.得基础解系则，对应于的全部特征向量为.返回上页下页②当时，解方程组.得基础解系于是，对应于的全部特征向量为如果A是n阶对角阵或上(下)三角阵，证返回上页下页设对角矩阵A的主对角元为，上式亦为上(下)三角阵的特征多项式，故有同样结论.则，特征多项式为那么，A的特征值就是其n个主对角元.令，可得对角阵的特征值就是其主对角元.返回上页下页前面指出，在特征多项式中，的系数；的系数；常数项.二、特征值和特征向量的性质n阶矩阵

4、A的主对角元之和，称为A的迹[记作tr(A)].证定理1设n阶矩阵的n个特征值为,则，①②返回上页下页另外，是特征方程的根，的系数和特征多项式相同，因此的系数和常数项也与特征多项式必相同，即证毕即，的系数；常数项.返回上页下页说明，故，若，则A的特征值全为非零数；若，则A至少有一个特征值等于零.返回上页下页例2已知的2个特征值为，解求(1)x,y；(2)；(3)的秩.(1)(2)2是一个特征值，故(3)3不是特征值，即，故是满秩矩阵，.返回上页下页定理2设都是A的属于特征值的特征向量，证则也是A的属于

5、特征值的特征向量.(其中k1,k2为任意常数，但)说明A的属于特征值0的全体特征向量是：的解集中除零向量外的全体解向量.由于都是的解，因此，也是的解.故，当时，是A的属于特征值的特征向量.证毕返回上页下页例3求矩阵的特征值和特征向量.解A的特征多项式为(单重根)(二重根)令，得A的3个特征值：返回上页下页将特征值分别代入，求出特征向量：①当时，解方程组.得基础解系则，对应于的全部特征向量为.返回上页下页②当时，解方程组.得基础解系则，对应于的全部特征向量为返回上页下页性质1设0是矩阵A的特征值，

6、是A的属于0的特征向量，则①k0是kA的特征值(k是任意常数)；②是的特征值(m是正整数)；③设一个k次多项式，则，是矩阵A的k次多项式的特征值；④若A可逆，则是的特征值；并且，仍然是以上①②③④中这些矩阵的分别属于特征值的特征向量.返回上页下页这里只证明性质②，其余留作练习.证继续进行以上步骤m－3次，得因此，是的特征值，是的对应于特征值的特征向量.证毕两端同时左乘A两端同时左乘A特征向量总是相对于特征值而言的，一个特征向量不能同时属于不同的特征值.说明两式相减由于，则有.这是不可能的(与“

7、特征向量是非零向量”矛盾)即假设同时是属于特征值1,2(12)的特征向量,返回上页下页返回上页下页例4设是可逆矩阵A的一个特征值，求的一个特征值.解根据特征值的性质，的特征值是;的特征值是;的特征值是;的特征值是返回上页下页性质2A和AT的特征值相同(即特征多项式相同).证因此，A和AT有完全相同的特征多项式.证毕说明A和AT的特征向量不一定相同.例如，皆有二重特征值，但它们相应的特征向量分别为返回上页下页定理3矩阵A属于不同特征值的特征向量是线性无关的.证令设是A的m个互异的特征值，是属

8、于各特征值的特征向量.若记下面将证明：只有当线性组合系数ki全部为零时才能使上式成立，即，线性无关.上式变为返回上页下页其中的有两种可能性：(ii)属于特征值的特征向量(如果)(i)零向量(如果)不论哪种情况，皆有……①对①式两端同时左乘A，得AAA即……②对②再左乘A，如此重复下去，共m－1次，最后有返回上页下页………………以上m个等式可合写成矩阵等式：返回上页下页因此，是可逆矩阵.行列式由于特征值各不相同，所以行列式的值不等于零.（范德蒙行列式的转置