矩阵的特征值和特征向量.ppt

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1、第4章矩阵的对角化与二次型的化简一、矩阵的特征值与特征向量二、相似矩阵与矩阵的相似对角化下页三、二次型与二次型的化简四、正交变换化二次型为标准形五、惯性定律与正定二次型①方程(lE-A)Xo的解都是特征值l的特征向量吗？定义1设A是n阶方阵，如果存在数l和n维非零列向量X满足AXlX，则称l为A的特征值，称向量X为A的对应于特征值l的特征向量.

2、lE-A

3、0●矩阵lE-A称为A的特征矩阵；●l的n次多项式

4、lE-A

5、称为A的特征多项式；●方程

6、lE-A

7、0称为A的特征方程.(lE-A)XoAXlX注意：如果X是A的对应于特征值l的特征向量，则问题：②特征值l的特征向量有多

8、少？③怎样求矩阵的特征值和特征向量？lX-AXo下页第1节矩阵的特征值与特征向量1.1特征值特征向量的概念与计算方程

9、lE-A

10、0的每个根都是矩阵A的特征值.方程(lE-A)Xo的每个非零解都是l对应的特征向量.例1．求矩阵A=的特征值与特征向量.5-131解：矩阵的特征方程为

11、lE-A

12、-5l+1l-3-1=(l-4)(l+2)=0，矩阵A的特征值为l14，l2-2.对于特征值l14，解齐次线性方程组(4E-A)Xo，得其基础解系为，11于是，矩阵A对应于l14的全部特征向量为(c1不为0).下页例1．求矩阵A=的特征值与特征向量.5-131解：矩阵的特征方程

13、为

14、lE-A

15、-5l+1l-3-1=(l-4)(l+2)=0，矩阵A的特征值为l14，l2-2.对于特征值l2-2，解齐次线性方程组(-2E-A)Xo，得其基础解系为，1-5于是，矩阵A对应于l2-2的全部特征向量为(c2不为0).下页方程

16、lE-A

17、0的每个根都是矩阵A的特征值.方程(lE-A)Xo的每个非零解都是l对应的特征向量.解：矩阵的特征方程为

18、lE-A

19、l+1-14-10l-30l-20=(l-2)(l-1)2=0，矩阵A的特征值为l1l2=1，l32.对于特征值l1l21，解线性方程组(E-A)Xo，例2.求矩阵A=-11-41030

20、20的特征值与特征向量.于是，A的对应于l1l21的全部特征向量为得其基础解系，12-1(c1不为0).下页解：矩阵的特征方程为l+1-10=(l-2)(l-1)2=0，矩阵A的特征值为l1l2=1，l32.对于特征值l32，解线性方程组(2E-A)Xo，例2.求矩阵A=-11-4103020的特征值与特征向量.于是，A的对应于l32的全部特征向量为得其基础解系，001

21、lE-A

22、l+1-14-10l-30l-20(c2不为0).下页例3.求矩阵A=163-3-6-5343的特征值与特征向量.

23、lE-A

24、l-1-6-336l+5-3l-4-3=(l+2)2(l-4

25、)=0，矩阵A的特征值为l1l2=-2,l34.对于特征值l1l2=-2,解线性方程组(-2E-A)Xo,解：矩阵的特征方程为l+20l+236l+5-3l-4-310136l+5-3l-4-3=(l+2)得其基础解系及，110-101110-101c1+c2于是，A的对应于l1l2=-2的全部特征向量为(c1,c2不全为0).下页对于特征值l3=4，解线性方程组(4E-A)Xo，得其基础解系，112于是，A的对应于l34的全部特征向量为l-1-6-336l+5-3l-4-3解：矩阵的特征方程为=(l+2)2(l-4)=0，矩阵A的特征值为l1l2=-2,

26、l34.

27、lE-A

28、例3.求矩阵A=163-3-6-5343的特征值与特征向量.(c3不为0).下页例4．试证：n阶O矩阵的特征值为零.证：由

29、lE-O

30、

31、lE

32、=ln0，必有l=0.下页例5．试证：n阶矩阵A是奇异矩阵（不可逆，秩亏）的充分必要条件是A有一个特征值为零.证：必要性.如果A是奇异矩阵，则

33、A

34、0.于是

35、0E-A

36、

37、-A

38、(-1)n

39、A

40、0，即0是A的一个特征值.充分性.设A有一个特征值为0，对应的特征向量为X1.由定义，有AX10X1o(X1o)，所以齐次线性方程组AXo有非零解X1,由此可知

41、A

42、0，即A为奇异矩阵.问题：对角矩阵的特征值是什么？

43、性质1设X1,X2,…,Xm都是矩阵A的对应于特征值l的特征向量,如果它们的线性组合k1X1+k2X2+…+kmXm≠o,则k1X1+k2X2+…+kmXm也是矩阵A的对应于特征值l的特征向量．性质2如果n阶方阵A的全部特征值为l1,l2,,ln(k重特征值算作k个特征值)，则①l1+l2++ln=Tr(A);其中,Tr(A)=a11+a22+a33+……＋ann,称为矩阵A的迹.②l1l2ln＝

44、A

45、．下页1.2特