矩阵的特征值和特征向量总结.ppt

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1、第4章矩阵的特征值与特征向量4.1矩阵的特征值与特征向量4.2矩阵的相似对角化4.3对称矩阵的相似对角化§4.1矩阵的特征值与特征向量4.1.1特征值与特征向量的概念4.1.2特征值与特征向量的求法4.1.3特征值与特征向量性质给定n阶方阵A,是否存在n维非零列向量使得A与成比列?如果存在的话,这样的向量怎样求?问题:可见,A与成比列,但Aβ与β不成比列.4.1.1特征值与特征向量的概念定义：设A是n阶矩阵，如果数λ0和n维非零列向量满足A=λ0，那么数λ0称为矩阵A的特征值，非零列向量称为A

2、对应于特征值λ0的特征向量．例：则λ=1为的特征值，为对应于l=1的特征向量.只有方阵才讨论特征值和特征向量.方阵的属于同一个特征值的特征向量不唯一.事实上,方阵的属于特征值的特征向量的任意非零倍数仍然是属于这个特征值的特征向量;进一步,方阵的属于同一个特征值的若干个特征向量的任意非零线性组合仍然是属于这个特征值的特征向量.特征向量只能属于一个特征值.事实上,若是A的属于特征值λ1与λ2的特征向量,则A=λ1,A=λ2,≠0,从而(λ1-λ2)=0.因此λ1=λ2.注:定义：设A是n阶矩阵，如果数λ

3、0和n维非零列向量满足A=λ0，那么数λ0称为矩阵A的特征值，非零列向量称为A对应于特征值λ0的特征向量．A=λ0=λ0E非零向量满足(λ0E−A)=0齐次线性方程组(λ0E−A)x=0有非零解系数行列式

4、λ0E−A

5、=04.1.2特征值与特征向量的求法λ0是关于λ的方程

6、λE−A

7、=0的根特征方程特征多项式特征方程

8、λE−A

9、=0特征多项式

10、λE−A

11、=f(λ)A=λ0=λ0EA的特征值λ0是特征方程

12、λE−A

13、=0的一个根A的属于特征值λ0的特征向量是齐次线性方程组(λ0E−A)x=

14、0的一个非零解例1：求矩阵的特征值和特征向量．解：A的特征多项式为所以A的特征值为λ1=2，λ2=4．当λ1=2时，解齐次线性方程组(2E−A)x=0，即解得基础解系．k11(k1≠0)就是属于2的所有特征向量．例1：求矩阵的特征值和特征向量．解：A的特征多项式为所以A的特征值为λ1=2，λ2=4．当λ2=4时，解齐次线性方程组(4E−A)x=0，即解得基础解系．k22（k2≠0）就是属于4的所有特征向量．特征值和特征向量的求法求特征方程

15、λE−A

16、=0的所有根,它们就是A的所有特征值;对A的每一个特征值λi

17、，解齐次线性方程组(λiE−A)x=0,求出它的一个基础解系x1,x2,...,xs,它们就是A的属于特征值λi的线性无关的特征向量；A的属于特征值λi的全部特征向量是方程组(λiE−A)x=0的所有非零解c1x1+c2x2+…+csxs，其中c1,c2,…,cs是不全是零的任意数.例2：求矩阵的特征值和特征向量．解：所以A的特征值为λ1=−1，λ2=λ3=5．例2：求矩阵的特征值和特征向量．解（续）：当λ1=−1时，因为解方程组(E+A)x=0．解得基础解系．k11（k1≠0）就是对应的特征向量．例2：求矩阵

18、的特征值和特征向量．解（续）：当λ2=λ3=5时，因为解方程组(5E−A)x=0．解得基础解系．k22（k2≠0）就是对应的特征向量．例3：求矩阵的特征值和特征向量．解：所以A的特征值为λ1=−1，λ2=λ3=2．例3：求矩阵的特征值和特征向量．解（续）：当λ1=−1时，因为解方程组(E+A)x=0．解得基础解系．k11（k1≠0）就是对应的特征向量．例3：求矩阵的特征值和特征向量．解（续）：当λ2=λ3=2时，因为解方程组(2E−A)x=0．解得基础解系．k22+k33（k2,k3不同时为零）就是对应的

19、特征向量．注矩阵或者没有重特征值,即都是单特征值(见例1),或者有重特征值(见例2,3).对于重特征值λ,非对称矩阵的属于λ的线性无关的特征向量的个数或者小于λ的重数(见例2),或者等于λ的重数(见例3).一般地,矩阵的属于特征值的线性无关的特征向量的个数不超过这个特征值的重数.在第3节将看到,对称矩阵的属于重特征值的线性无关的特征向量的个数等于这个重特征值的重数.例1：求矩阵的特征值和特征向量．A的特征值为λ1=2，λ2=4．例2：求矩阵的特征值和特征向量．A的特征值为λ1=−1，λ2=λ3=5．λ1+λ2=6

20、λ1λ2=8a11+a22=6

21、A

22、=8λ1+λ2+λ3=9λ1λ2λ3=-25a11+a22+a33=9

23、A

24、=-254.1.3特征值与特征向量的性质性质1设n阶矩阵A的特征值为λ1,λ2,…,λn，则λ1+λ2+…+λn=a11+a22+…+annλ1λ2…λn=

25、A

26、即:方阵的所有特征值的和等于这个方阵的主对角线上元素的和;方阵的所有特征值的乘积等于这个方阵的行列式