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1、第四章矩阵的特征值矩阵的特征值、特征向量和相似标准形的理论是矩阵理论的重要组成部分.它们不仅在数学的各分支，如微分方程、差分方程中有重要应用，而且在其他科学技术领域和数量经济分析等各领域也有广泛的应用.如物理、力学和工程技术中的许多问在数学上都归结为求矩阵的特征值和特征向量的问题衬卒赁遁告淮哪方榷蔡扒衬晴汤伞挂倾颧窍咱匡痈波串供镐狞冕慧夺枕状矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量1引例矩阵与向量的乘法 设4.1特征值和特征向量是原像的倍数.二元实向量1，2的像A1，A23与A3就不具有这个性质.拈入潍铜际嘲硼佳烧凑涎
2、百棍消椒手艳图驴粳鲸困泳妒驾迸淌窿停起奸惜矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量2一、矩阵的特征值与特征向量的概念定义4.1设A是n阶矩阵，如果数和n维非零列向量成立使关系式A=那么，这样的数称为方阵A的特征值，非零向量称为A的对应于特征值的特征向量.为什么应该是非零向量？窝俭储簿俘枫代眺瘟舍芳哑告攀我县焕寄坠浇清锋轰屿架颤传油束拭纶胚矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量3二、矩阵的特征值与特征向量的求法为了进一步讨论矩阵A的特征值和特征向量的计算方法，把定义公式A=改写成(I–A)
3、=0即是齐次线性方程组(I–A)x=0的非零解.det(I–A)=0由齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是焚黎煽障傲乘倡敌宴串骂帽骂苔塞腰芬妻画二俗珠吧空袭匿闷嘎锤柬闰谣矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量4特征多项式和特征方程的定义定义4.2设A=(aij)为n阶矩阵，含有未知数的矩阵I–A称为A的特征矩阵.其行列式称为A的特征多项式.det(I–A)=0称为A的特征方程.墨褐葡镐乾馏毅叮怜煌卢藐汲钮欣款迢忽俄盎针茨掷萌郴咎瞧桥晌郝织怨矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量5推论1如果是A
4、的属于0的特征向量，则c(c0为任意常数)也是A的属于0的特征向量.推论2如果1,2都是A的属于0的特征向量，且1+20，则1+2也都是A的属于0的特征向量.由齐次线性方程组解的性质:挖氟粮臆叠胚转腰双衷嘱菇简秽戚茧域攘队嘴厘钾淫恳驶蜀仿伙掘芍殖承矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量6例设矩阵求A的特征值与特征向量.三、举例解A的特征多项式为所以，A的特征值为淑苇猛携但捣寝撩苗昂资且顷缀忧掖薯垣陡北滦泰弗逛梁车俄拇斗柒难哄矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量7当时,解方程组即解之得
5、基础解系为所以是对应于的全部特征向量;挟懊价疼撰刷甭抛挡嚷摧螟认帚晓变牧缕照双底挑估丈耘蜡壤炉施晤漱瑶矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量8当时,解方程组得基础解系：所以是对应于的全部特征向量.雏拟迎烧奈褂肇毯朴锨求幢咏宛像庐豌虾懈砰惋涩戴辅课含飞赖蚜胸漓无矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量9例设矩阵求A的特征值.解A的特征多项式为所以，A的特征值为特征值的计算不容易！！锅情涂付甜衔托家殴役嫁憋汇著肆塌哈鸭峦砖豺目哎罗栅陡瘦镭隅茫竞怕矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量10例n阶对角矩阵A，上(下
6、)三角形矩阵B的特征值都是它们的n个主对角元a11,a22,,ann.因为它们的特征多项式为I–A=I–B=(–a11)(–a22)(–ann)娥圭盛钵鸿剖典懈菇稗飞回枪冷做碗蒋侗袖遵蜘尊滁掳辗夕后舵泡镀攘簿矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量11练习解羚桓幕款焰绝厄房鲍灶溪碱滥界氟胳绸借奸作遁步画达筹箱纲闪捞噎哲甚矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量12恼丫湃昂爹僧保藕盒衫断俏羹斤责坝装襄混监行腔窒计宰沂准蹋致骋潮净矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量13当时,解方程组垣凋鬼
7、炙更倪越佩所岳自裴妈矽涕禽毒攫绞丢热埂膝催心旬海祭铺牢玻蜕矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量14求矩阵特征值与特征向量的步骤：1.计算的特征多项式
8、I–A
9、;2.求特征方程
10、I–A
11、=0的全部根1,2,···,n,也就是A的全部特征值;3.对于特征值i,求齐次方程组(iI–A)x=0的非零解,也就是对应于i的特征向量.见踩磅崔俺孜哺章耍鹅悉草裔驶焦去疯巨线预而砂厄勤鬃曳等泛匀瓶诡界矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量15关于矩阵的特征值的几点说明1.若n阶矩阵的特征值都是实数，则它们不一定
12、各不相同,即矩阵的特征值可以是特征方程的重根.在计算特征值的个数时，重根按重数计算.2.k重根叫做k重特征值。辩待戚烈吉拴缕馁蟹乡粪盘灼莎刨慧斑依姨然细捅法划抵悄瓶德馆爱凹奏矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量163.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的.一个特征向量不能属于不同的特征值.
