矩阵特征值与特征向量的计算.ppt

《矩阵特征值与特征向量的计算.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第5章矩阵特征值与特征向量的计算n阶方阵A的特征值是特征方程det(A-E)=0的根.Gerschgorin圆盘定理设矩阵A=(aij)nn,记复平面上以aii为圆心,以ri=为半径的n个圆盘为Ri=aiiri,i=1,2,…,nA的特征向量是齐次线性方程组(A-E)x=0的非零解.则(1)A的任一特征值至少位于其中一个圆盘内;(2)在m个圆盘相互连通(而与其余n-m个圆盘互不连通)的区域内,恰有A的m个特征值(重特征值按重数记).试讨论A的特征值的分布.解由A确定的3个圆盘分别为所以315-2<22-63<-2例1设矩阵R1=-41

2、,R2=2,R3=+42xy0-2-4-62345实际上，1=4.20308,2=-0.442931,3=-3.76010适当选取非奇异对角矩阵D=diag(d1,d2,…,dn),则矩阵D-1AD与矩阵A有相同的特征值,且对角元素相同.而矩阵D-1AD对应的n个圆盘为如上例,取D=diag(2,1,1),则有可见，R1是独立的,所以可得3.514.5.§1乘幂法和反幂法§1.1乘幂法乘幂法是用来求矩阵A按模最大的特征值和相应的特征向量的方法.设A是单构矩阵,即A有n个线性无关的特征向量.A的n个特征值为

3、12n对应的

4、特征向量为x1,x2,…xn线性无关.我们要求1和x1.乘幂法的基本思想是取初始向量v(0)Rn,作迭代v(k+1)=Av(k)=Ak+1v(0),k=0,1,2,…产生迭代序列v(k).由于x1,x2,…xn线性无关,从而有v(0)=a1x1+a2x2+…+anxn故有v(1)=Av(0)v(k)=Av(1)v(k)=Akv(0)=a11kx1+a22kx2+…+annkxn(5.1)……………………………………………=a11x1+a22x2+…+annxn=a112x1+a222x2+…+ann2xn1.设

5、1>2n,这时,(5.1)式

6、可写成若a10,则对充分大的k有因而有或取而特征向量x1v(k).乘幂法的收敛速度取决于

7、2/1

8、的大小.求矩阵A的按模最大的特征值解取v(0)=(1,0)T,计算v(k)=Av(k-1),结果如下例2kv1(k)v2(k)v1(k)/v1(k-1)v2(k)/v2(k-1)01010.250.220.102500.0833330.410.4166530.0422920.0343890.412600.4126740.0174510.0141900.412630.41263可取0.41263,x1(0.017451,0.014190)T.对非零向量v,用max(v)表示v的按

9、绝对值最大的分量,称向量u=v/max(v)为向量v的规范化向量.例如,设向量v=(2,1,-5,-1)T,则max(v)=-5,u=(-0.4,-0.2,1,0.2)T.可见规范化向量u总满足‖u‖=1.乘幂法的规范化计算公式为:任取初始向量u(0)=v(0)0,计算由于所以又由其收敛速度由比值

10、2/1

11、来确定,其值越小收敛越快.所以因此,当

12、k-k-1

13、<时,可取:1k,x1u(k).如用规范化乘幂法解例2,仍取u(0)=v(0)=(1,0)T,则有故可取10.412627,x1(1,0.813138)T.k01234k0.250.410.4126020

14、.412627u1(k)11111u2(k)00.80.8130080.8131360.813138用乘幂法求A的按模最大的特征值和相应特征向量.例3设解取初值u(0)=v(0)=(1,1,1)T,计算得kku(k)0123…101112107.26.5…6.0033526.0016756.000837(1,1,1)T(1,0.8,0.1)T(1,0.75,-0.111)T(1,0.730769,-0.188034)T…………………..(1,0.714405,-0.249579)T(1,0.714346,-0.249790)T(1,0.714316,-0.249895)T可取16.

15、000837,x1(1,0.714316,-0.249895)T.实际上,A的3个特征值分别为1=6,2=3,3=2.2.设1=2==r,且

16、1>r+1n,这时,(5.1)式可写成若a1,a2,…,ar不全为零,则对充分大的k有由于a1x1+a2x2+…+arxr是对应1的特征向量,若仍记为x1,则有:v(k)1kx1,故前面的结论仍然成立.3.设1=-2,且

17、1=

18、2

19、>3