矩阵特征值与特征向量的计算

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1、数值计算方法教案----第九章矩阵特征值与特征向量的计算第九章矩阵特征值与特征向量的计算教学目的与要求：掌握用幂法和反幂法求矩阵特征值与特征向量的方法，了解Jacobi方法的适用范围和使用方法。重点和难点：幂法和反幂法■教学内容：§1幂法和反幂法一、幂法(0)(1kk+)()幂法的基本思想是给定初始向量x≠0，由迭代公式xA==xk(0,1,2,L)产生向量序列(1)(0)⎧xA=x⎪(2)2(0)()k⎪xA=x{x}：⎪上述向量称为迭代向量。⎨LL⎪()kk(0)xA=x⎪⎪LL⎩于是由上式得kk++11nn⎛⎞

2、⎛⎞(1kk++)()k1(0)k+1k+1k+1λ2λnxA==xAxA=∑∑()aiiua=iiλui=+λ11[]au1⎜⎟au22+L+⎜⎟aunnii==11⎝⎠λλ11⎝⎠k+1k+1⎛⎞n⎛⎞λλii设a1≠0，由λλ1>=i(2in,3,,L)得lim⎜⎟auii=0，于是lim∑⎜⎟auii=0k→∞λk→∞i=2λ1⎝⎠1⎝⎠n⎛⎞(1kk++)1λik+1(1k+)故只要k充分大，就有x=+λ11[]au1∑⎜⎟auii≈λ11au1因此，x可以近似作为与λ1相应i=2⎝⎠λ1的特征向量。()k

3、()k下面我们通过特征向量来计算特征值λ。用x表示x的第i个分量，由于1i(1kk++)1(1k+)xaλ()uxii111i≈，所以λ≈=(in1,2,L,)()kk1()kxaλ()uxii111i(0)k()k上式这种由已知非零向量x及矩阵A的乘幂A构造向量序列{x}用来计算矩阵A按模最大的特征值λ与对应的特征向量的方法称为幂法。1⎡9−3⎤例1用幂法的规范运算求矩阵A=⎢⎥的按模最大的特征值及对应的特征向量。⎣41⎦数值计算方法教案----第九章矩阵特征值与特征向量的计算λ2幂法的收敛速度取决于比值，比值越小

4、，收敛越快。反之，则很慢。此外，当矩阵A无个线性nλ1无关的特征量时，幂法收敛很慢，亦应考虑改用其它方法。二、反幂法分析反设A为nn×阶非奇异矩阵，λ,u为A的特征值与相应的特征向量，即Au=λu，由于，−11−11Au=u，所以A的特征值是A的特征值的倒数，而相应的特征向量不变。如果A的特征值的次λλ−1111−1序为λ≥≥≥λλL，则A的特征值为≥≥L≥，因此，若对矩阵A用幂法，即可12nλλλnn−11−11计算出A的按模最大的特征值，从而求得A的按模最小的特征值λ。这就是反幂法的基本思想。nλn因为反幂法的来

5、源反幂法计算的主要步骤如下：()k()kk()()k()kx1．对A进行三角分解A=LU；2．求整数r，使得x==maxx,αx,计算y=；rir1≤≤inα()k⎧⎪Lz=y3．解方程组⎨(1k+)⎪⎩Ux=z⎡−1233⎤⎢⎥例2用反幂法求矩阵A=31−2的最接近−13的特征值，并求相应的特征向量。⎢⎥⎢⎣3−27⎥⎦§2Jacobi方法Jacobi方法的基本思想是：构造特殊的正交矩阵序列，通过正交变换，使A的非零的非对角元素逐次化成零，并且使得非对角元素的平方和减小。从而使该矩阵近似为对角矩阵，得到全部特征值和

6、特征向量。一、矩阵的旋转变换Jacobi方法的关键是如何构造正交矩阵？先分析简单例子。对二阶矩阵，只做依次正交变换，选择适当角ϕ，就可将A对角化。n将这种思想推广到维情况，设nA为阶实对称矩阵，考虑nR中平面旋转变换矩阵数值计算方法教案----第九章矩阵特征值与特征向量的计算⎡⎤1⎢⎥O⎢⎥⎢⎥1⎢⎥⎢⎥cosϕϕLsin⎢⎥1⎢⎥V()ϕ=⎢⎥MOMij⎢⎥1⎢⎥⎢⎥−sinϕϕLcos⎢⎥1⎢⎥⎢⎥O⎢⎥⎣⎦1它是将n阶单位阵中对角线上第i和第j个元换成cosϕ，非对角元V和V分别换或sinϕ和ijji(1)T(

7、1)−sinϕ而得到的，容易验证，V()ϕ是正交矩阵，若记A==VAV()aijijijij(1)22⎧aa=++cosϕϕϕasinasin2iiiijjij⎪(1)22aa=+−sinϕϕϕacosasin2⎪jjiijjij⎪aaa(1)==(1)cosϕϕ+asin(ki≠,)jikkiikjk则有⎪(1)(1)⎨aaa==−sinϕϕ+acosjkkjikjk⎪(1)(1)a==aa(,kli≠,)j⎪kllkkl⎪1(1)(1)⎪aa==−(aa)sin2ϕϕ+acos2ijjkjjiiij⎩22aijπ

8、(1)(1)如果a≠0，取ϕ使得tan2ϕϕ=<()则有aa==0，这样，就得到一个使A中非ijijjiaa−4iijj(1)(2)零的非对角元素aa=变成零的正交相似变换。对A重复上述过程，可得A，如此继续下去，得到ijji()k()k一个矩阵序列{A}。可以证明由上述方法构造的旋转矩阵对A变换后，就会使非对角元的平方和严格单调递减，而对角元