矩阵特征值与特征向量的计算

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1、第8章矩阵特征值和特征向量的计算很多工程计算中，会遇到特征值和特征向量的计算，如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题；物理学中的各种临界值等。这些特征值的计算往往意义重大。求解线性方程组的迭代法，重要一点是判断迭代法的收敛性；判断方法之一就是看迭代矩阵的特征值的模是否都小于1。1PA()是的高次的多项式，它的求根是很困难的。设法通过数值方法是求它的根。通常对某个特征值，可以用些针对性的方法来求其近似值。若要求所有的特征值，则可以对A做一系列的相似变换，“收敛”到对角阵或上（下）三角阵，从而求得所有特征值的近似。n阶方阵A的特征

2、值是特征方程PA()=det(A-E)=0的根.A的特征向量是齐次线性方程组(A-E)x=0的非零解.特征根和特征向量的定义（复习）2定理1：ARnn，1,…,n为A的特征值，则（2）A的行列式值等于全体特征值之积，即（1）A的迹数等于特征值之和，即特征根和特征向量的基本结论。定理2设为ARnn的特征值且Ax=x，其中x不为0,则（1）c为cA的特征值（c为常数且不为0);（2）-p为A-pI的特征值，即(A-pI)x=(-p)x;（3）k为Ak的特征值；（4）设A为非奇异阵，那么且为特征值，即3定义

3、设矩阵A,BRnn，若有可逆阵P，使则称A与B相似。定理若矩阵A,BRnn且相似，则（1）A与B的特征值完全相同；（2）若x是B的特征向量，则Px便为A的特征向量。相似矩阵及定义其性质48.1幂法和反幂法8.1.1幂法幂法是用来求矩阵A按模最大的特征值和相应的特征向量的方法.也称为主特征值和主特征向量。设A是单构矩阵,即A有n个线性无关的特征向量.A的n个特征值为

4、1>2n对应的特征向量为ξ1,ξ2,…,ξn线性无关.我们要求1和ξ1.幂法的基本思想是取初始非零向量x0Rn,作迭代xk+1=Axk

5、=Ak+1x0,k=0,1,2,…产生迭代序列xk.由于ξ1,ξ2,…ξn线性无关,从而有x0=β1ξ1+β2ξ2+…+βnξn(8.3)5xk=Akx0=β11kξ1+β22kξ2+…+βnnkξn设

6、1>2n,这时,上式可写成若β10,则对充分大的k有因而有从而特征向量ξ1xk.乘幂法的收敛速度取决于

7、2/1

8、的大小.故有8.1.1幂法6因此，常把每一步计算的迭代向量xk规范化。对非零向量x,用max(x)表示x的按绝对值最大的分量,称向量y=x/max(x)为向量x的规范化向量.例如,

9、设向量x=(2,1,-5,-1)T,则max(x)=-5,y=(-0.4,-0.2,1,0.2)T.可见规范化向量y总满足‖y‖=1.幂法的规范化计算公式为:任取初始向量x0=y00,计算可得实际计算时，考虑到当1>1时，xk的非零向量趋于无穷；当1<1时,xk趋于零；导致计算机会出现上溢或下溢。8.1.1幂法7所以其收敛速度由比值

10、2/1

11、来确定.又由于所以因此,当k充分大时可取:1mk,ξ1xk.8.1.1幂法8算法8.1幂法程序见p174。(1)输入矩阵A，非零初始向量y0，最大迭代次数N，精度，

12、置k:=0，u=0；(2)计算mk=max(yk)；(3)计算(4)若

13、mk-u

14、<,则输出mk,xk,停算；(5)若k=N，则停算，输出计算失败信息；否则，置k=k+1,u=mk,转步2；9用乘幂法求A的按模最大的特征值和相应特征向量.例8.1设解取初值x0=y0=(1,1,1)T,计算得kmkxk0123…101112107.26.5…6.0033526.0016756.000837(1,1,1)T(1,0.8,0.1)T(1,0.75,-0.111)T(1,0.730769,-0.188034)T…………………..(1,0

15、.714405,-0.249579)T(1,0.714346,-0.249790)T(1,0.714316,-0.249895)T可取16.000837,ξ1(1,0.714316,-0.249895)T.实际上,A的3个特征值分别为1=6,2=3,3=2.108.1.2加速技术由于所以,乘幂法收敛速度取决于比值

16、2/1

17、,当

18、2/1

19、1时,收敛是很慢的.1.Aitken加速方法由上式可知可见,序列mk线性收敛于1.构造Aitken序列会达到加速收敛的目的.112.原点位移法作矩阵B=A-aI,则B的特

20、征值为qi=i-a(i=1,2,…,n),而且对应的特征向量相同.如果选取a,使q1仍然是B的按模最大特征值，且满足则对B应用乘幂法可达到加速收敛的目的。则对A–aI计算1–a及对应的特征向量比对A计算收敛得快，此即为原点位移法。122.原点位