矩阵的特征值与特征向量ppt课件.ppt

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1、第四章矩阵的特征值与特征向量1矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的两个基本概念,矩阵的对角化问题是矩阵理论的重要组成部分．本章利用线性方程租的求解方法,提出矩阵的特征值与特征向量的有效计算方法,并给出矩阵对角化的条件,介绍实对称矩阵对角化的方法.本章是理论与应用相结合的重要的一章,内容丰富,综合性强,难度较大.2本章的主要内容§4.1矩阵的特征值与特征向量§4.2相似矩阵与矩阵对角化§4.3实对称矩阵的对角化3一、特征值与特征向量的基本概念及计算方法§4.1矩阵的特征值与特征向量二、特征值与特征向量的性质三.小结与思考题4一.特征值与特征向量的基本概念及计算方法存在非零n维列向量X,使得

2、于特征值的一个特征向量.定义4.1设A是n阶方阵,成立,则称为矩阵A的一个特征值,若对于数域F中的数,X为矩阵A的对应1.特征值与特征向量的定义对于任意n阶矩阵A，是否一定有特征值与特征向量呢？5因为，例如，在实数域上，对于矩阵故由定义4.1知，λ=5是A的一个特征值,是A的属于特征值λ=5的特征向量；67(2)方阵A的与特征值对应的特征向量不唯一,即注1在讨论矩阵A的特征值与特征向量问题时,A是方阵;(3)一个矩阵是否有特征值与特征向量,与考虑问题的数域有关，我们只在实数域上研究矩阵的特征值与特征向量．如果向量X是矩阵A的属于特征值的特征向量,则向量kX都是矩阵A的属于特征值的

3、特征向量;故由定义4.1知，λ=5也是X1、X2、X3的特征值,即对于λ=5的特征向量是不唯一的.82.特征值与特征向量的计算方法则已知所以齐次线性方程组有非零解，则定义4.2为A的特征矩阵.称为矩阵A的特征多项式.方程称为A的的特征方程,方程的根称为A的特征根．9命题矩阵A的特征值就是A的特征根．根据多项式理论，在复数范围内，矩阵A的特征方程有n个特征根(k重根算k个根)．A的关于特征值λ的全部特征向量就是齐次线性方程组的全部非零解向量．10求特征值、特征向量的方法:求出的全部根,即为特征值;(3)把得到的特征值i分别代入齐次线性方程组求齐次线性方程组的非零解X,即为所求特征向量

4、.（1）计算n阶矩阵A的特征多项式11解例1121213解第一步：写出矩阵A的特征方程,求出特征值.例2求矩阵的特征值和全部特征向量.14第二步：对每个特征值代入齐次线性方程组求非零解.解得特征值为齐次线性方程组为系数矩阵15是对应于得基础解系齐次线性方程组为系数矩阵16得基础解系是对应于的全部特征向量.17例3设求A的特征值和特征向量;解解得系数矩阵18为自由未知量,得基础解系19得基础解系20解第一步：写出矩阵A的特征方程,求出特征值.例4求矩阵的特征值和全部特征向量.解得特征值为21第二步：对每个特征值代入齐次线性方程组求非零解.齐次线性方程组为系数矩阵22是对应于得基础解系A

5、的属于特征值类似可以求得的全部特征向量分别为是不为零的常数.23例5若是A的一个特征值，证证明是矩阵f(A)的一个特征值.若是A的一个特征值，由AX=X,有所以即i是Ai(i=1,2,┅,m)的一个特征值,故24是矩阵f(A)的一个特征值.所以253.特征多项式f()的性质在特征多项式中有一项是主对角线上元素的连乘积：f()的展开式的其余各项为26性质1设n阶方阵A的n个特征值为则称为矩阵A的迹，记为设f()=0的根为，则有27若A的特征值是,X是A的对应于的特征向量,性质2(1)kA的特征值是k;(k是任意常数)(m是正整数)(3)若A可逆,则A-1的特征值是-1

6、,的特征值是且X仍然是矩阵分别对应于的特征向量.28证再继续施行上述步骤m-2次,就得为x的多项式,则f(A)的特征值为29其它请同学们自己证明.30例6已知三阶方阵A的特征值为1、2、3,求矩阵A*+E的行列式.解由性质1（2）知则矩阵A*的特征值所以矩阵A*的特征值分别是6，3，2，A*+E的特征值分别是7，4，3，故31定理4.1矩阵A和AT的特征值相同.证因为即A与AT有相同的特征多项式，所以它们有相同的特征值．二、特征值与特征向量的性质注虽然A与AT有相同的特征多项式，但它们的属于同一特征值的特征向量不一定相同．32假设结论对m－1个互异特征值对应的特征向量定理4.2设依次是与

7、之对应的特征向量.线性无关.证已知是方阵A的m个特征值，如果各不相等,则线性无关.即方阵Ａ的属于不同特征值的特征向量X1线性无关.线性无关，现证明m个互异特征值对应的特征向量也线性无关.33设用A左乘（1）式两端得因为所以用m乘（1）式两边得用(3)式减去(2)式,得34代入(1)式得,得由归纳法假设，线性无关，所以线性无关.35定理4.3设是方阵A的互异特征值是A的属于特征值则向量组线性无关.由定理4.3,对于一个n阶矩阵A,