微微积分答案 8

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1、练习8.11.略2.略3．解：(1)由于1£++£xy14,(,)xyÎD∫∫ds£∫∫(x++y1)ds£∫∫4dsDDDs£(x++y1)ds£4s(s为面积D）D∫∫DDD2£∫∫（x++y1)ds£8D22(2)∵9£x+y+£913,(,)xyÎD229s£(x+y+9)ds£13sD∫∫DD2236p£∫∫(x+y+9)ds£52pD4.∵对于(xy,)ÎD,x+y£12(x+y)£122即x+y£-12xy£122Inx(+y)£022∫∫Inx(+yd)s£0DI取负号。

2、练习8.21.据定理1，有bd∫∫f(x,y)ds=∫adx∫cf(x,y)dyDdb∫∫fxyd(,)s=∫cdx∫afxydx(,)D1所以等式成立。2.()21根据累次积分，可得积分区域D1:£x£1,2£y£x,将D写成分型区域：1£y£4，y£x£242原累次积分=∫∫f(x,y)ds=∫1dy∫yf(x,y)dxD（2）积分区域D为：0£y£1，y£x£y2写成x型区域：0£x£,1x£y£x,1x原累次积分=∫∫f(x,y)ds=∫0dx∫2f(x,y)dyxD1（3）积分区域D为

3、：1£y£2，£x£yy将D写成x型区域11D1:££x1,££y22xD2：1££x2,xy££21222原累次积分=∫1dx∫1f(x,y)dy+∫1dx∫xf(x,y)dy2x（4）积分区域D由D1和D2构成D1:0££x1,0££yxD2:1££x2,0££-y2xD写成y型区域：0£y£1y£x£2-y12-y原累次积分=∫dy∫f(x,y)dx0y113333.(1)原积分=∫dx∫(x+3xy+y)dy00224133yy1=xy+3x+dx∫024013321

4、=∫x+x+dx0244x1311=+x+x0424=111y（2）原积分=dxdy∫0∫03222(1+x+y)11112=dydx∫0∫032(1+x2+y2)2111122=d(y+x+1)dx∫0∫032(1+x2+y2)2-122211(1+x+y)1=∫0dx021-21-1-1=∫-(x2+2)2-(x2+1)2dx01111=∫dx-∫dx0202x+1x+2利用第六章例23可得1121dx

5、=lnx+x+1=ln1+2∫02()0()x+11121dx=lnx+x+2=ln1+3∫02()0()x+2
=ln(1+2)-ln(1+3)pp(3)原积分=∫0dx∫p-xxcos(x+y)dyp=[()]pxsinx+ydx∫p-x0pp=∫dx(-xsinx)dx=∫dxcosx003p=xcosxp-cosxdx0∫0=[p]-p-sinx=-p0pp22(4)原积分=dy2xydx∫-y∫y2p2p2xp=y2dy2∫-p2y2p242375p2pypyp1yp

6、p=∫-py-2dy=-p-2-p=88p838p7212pa4.(1)∫∫fxydxdy(,)=∫0dq∫0fr(cos,sin)qrqrdrDp2cosq(2)fxydxdy(,)=2dqfr(cos,sin)qrqrdr∫∫∫p∫0-D2225.（1）积分区域为：0££xR,0£y£R-xp用极坐标表示：0£q£，0££rR2ppRR2222222原积分=∫0dq∫0fr(cosq+rsinq)rdr=∫0dq∫0frrdr()（2）积分区域为：20£x£2,R0£x£2Ry-yp用极

7、坐标表示：0£q£，0££r2sinRq2p2sinRq原积分=∫2dq∫fr(cos,sin)qrqrdr002p26．（1）原积分=∫dq∫(4-rcosq-rsin)qrdr00332p22r2r2=(2r-cosq-sinq)dq∫0000332p88=∫(8-cosq-sin)qqd03382p82p=16p-sinq+cosq=16p0033p2211(cos)-rq-(sin)rq（2）原积分=2dqrdr∫0∫01(cos)-rq2+(sin)rq2p211-r=2dqrdr∫0∫0

8、1+r242p11-r=rdr2∫01+r22p11-r2p11-t2=dr=dt(r=t)4∫01+r24∫01+tp11-tp111t=∫02dt=∫02-∫02dt41-t41-t1-t2p111dt=arcsint-402∫012-tpp1112=+∫d(1-t)42201-t2p21ppp=+1-t=(-1)=(p-2)02428p1（3）原积分22=∫dq∫ln(1+rrdr)00p12=∫ln(1+rr