微微积分答案 7

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1、练习7.1nn(+1)2n2i2211．（1）∫(x+2)dx=lim(∑+2)×=lim4(×+n)=60n®¥i=1nnn®¥nn1nin1xn11e(1-e)（2）∫edx=lim∑e×=lim1=-e10n®¥n=1nn®¥nn1-ep2．（1）∫sinxdx=-=ss0-ppp（2）cosxdx=2(s-s)=2cosxdx∫-p12∫0222pr（3）∫4-xdx==p0421（4）∫3xdx==s´´=26602nb2(bai-)2ba-3.s=∫(x+1)dx=lim∑[(a+)+×1]a

2、n®¥i=1nn22nn(+1)(ba-)nn(+1)(2n+1)ba-=lim[an+2(baa-)×+×+n]2n®¥2nn6n133=(b-a)+-ba3练习7.2111.(1)2323∵xÎ(0,1),x>x∫xdx>∫xdx002112(2)2xxxx∵xÎ(0,1)时，x>x，e>e，∫edx>∫edx00(3)设x=-t，则pp0∫psinxdx=∫2(-sint)dt=∫2-sinxdx-002pp0∵xÎ(0,)时，有-sinx

3、(4)设xfx()=e--1x，xÎ(0,1)则xxfx¢()=e->10，推得fx()>f(0)=0，即e>+x1，11所以x∫edx>∫(x+1)dx002p2p2（5）-x2-+(tp)2∫ecosxdxt=-xp∫ecos(t+p)(dt+p)p0p22-+(tp)2-(x+p)2=∫ecostdt=∫ecosxdx02222∵xÎ(0,)p，有x<+xp，x<(x+p)，-x>-(x+p)，22p22p2-x-(x+p)-x2-x2e>e，∫ecosxdx>∫ecosxdx0p42.（1）22

4、∵2£x+£117,6£∫(x+1)dx£511x2-xx2-x1(2)设fx()=e,xÎ[0,2]，则fx¢()=e(2x-1)=0，得x=。2111--4224∵f(0)1,=f()=e,f(2)=e,M=e,m=e.211-2202-4x-x22x-x4.2e£∫edx£2,e-2e£∫edx£-2e023(3)设fx()=xarctan,xxÎ[,3].3∵fx¢()=arctanx+x>,fx()[3,3]
1+x233333M=3arctan3=pm=arctan=

5、p,3331833333p(3-)£∫3xarctanxdx£p(3-).183333132即p£∫3xarctanxdx£p93312p(4)设fx()==,xÎ(0,)，有11cos+2x221-sinx2fx¢()=2sin2x>0，fx()[0,]p。(1cos+2x)1cos+2x2p所以M=f(0)=2,m=f()1=，2pp1p£∫2dx£201221-sinx2n3．（1）x[0,]11+x21nnxx11lim∫2dx=lim×,xÎ(0,)n®¥01+xn®

6、¥1+x22n®¥xÎ(0,)1:xn®0,21n!lim∫2xdx=0.n®¥01+xp（2）4nnpplim∫sinxdx=limsinx×,xÎ(0,).n®¥0n®¥44p∵limsinnx=0,lim4sinnxdx=0.n®¥n®¥∫04.fx()[,]"ab#$%&'fx()[,]"ab#()*+,-M&+.-m,/m£fx()£M.∵gx()>00mgx()£fxgx()()£Mgx()bbbb∫gxfxdx()()amgxdx()£gxfxdx()()£Mgxdx(),m£

7、£M.∫a∫a∫ab∫gxdx()abgxfxdx()()1234567$Îx(,),ab8f()x=∫a,b∫gxdx()abb9∫gxfxdx()()=f()x∫gxdx()aa练习7.331．(1)Fx¢()=sinxb（2）2Fx¢()=∫sinxdta112112（3）Fx¢()=×2x-×3x=×2x-×3x8128121+x1+x1+x1+xxx（4）Fx()=x∫dt-∫ftdt(),Fx¢()=2xa--fx()aaxx（5）22Fx()=x∫ftdt(),Fx¢()=2x∫ftdt()

8、+xfx()aa（6）F¢(x)=0p2∫costdtcosx202．(1)0lim=lim=1()x®0xx®0102p2∫1+tdt¥1+x4×2x1+x411(2)limlim=lim=432x®¥x¥x®¥4xx®¥2x2p2p22t2tx[∫(e-1)]dt02∫(e-1)dte×(-1)(3)00limlim=0pxx®0edtt0x®0e∫0231141213.(1)(x+)dx=(x-)=4∫1321x42x8