微微积分答案 3

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1、练习3.11.利用导数定义求下列函数的导数。12（1）y=,y¢x=1(2)y=x,y¢x=1xfx(+Dx)-fx()解：(1)y¢=limD®x0Dx11-x+Dxx=limD®x0Dx-Dxx(x+Dx)1=lim=-2D®x0Dxxy¢=-1x=1fx(+Dx)-fx()解：(2)∵y¢=limD®x0Dx22(x+Dx)-x=lim=2xD®x0Dxy¢=2x=12．求曲线2y=x在横坐标为2的点处切线的斜率，并求出曲线在点(2,4)的切线方程。解：根据导数的几何意义，切线的斜率为k=y¢=2

2、x=4，x=2x=2所求切线的方程为y-4x+=40。1,01解：因为函数y在x=1两侧表达式不同，所以必须先求fx()在x=1处的左右导数。1-1f(x)-f)1(xf¢)1(=lim=lim=-1---1x®1x-1x®1x-12f(x)-f)1(x-1f¢)1(=lim=lim=2+++x®1x-1x®1x-1∵f¢¹f¢，y在x=1处不可导--但函数y在x=1有定义，且limy=1，limy=1，y=1+-x=1x®1x

3、®1y在x=1连续.4．讨论下列函数在x=0处的连续性和可导性，并加以比较。1211xsin,x¹0xsin,x¹0(1)y=sin，(2)y=x，(3)y=xx0,x=00,x=0解：（1）∵fx()在x=0无定义函数在x=0不连续，不可导(2)因为fx()在x=0处有定义1limxsin=0，f(0)=0x®0x所以fx()在x=0处连续1xsinf(x)-f)0(x但lim=lim不存在x®0x-0x®0x故fx()在x=0处不可导(3)fx()在x=0处有定义21limxs

4、in=0，f(0)=0x®0x所以fx()在x=0处连续21xsinfx()-f(0)x由lim=lim=0，得fx¢()=0，所以-x=0x®0x-0x®0xfx()在x=0处可导。练习3.21．求下列函数的导数xm10(1)y=+(m为常数)(2)y=x+lnxmxlnx(3)y=x(2x-1)(3x+2)(4)y=+ln32xxsinx(5)y=1tan+x1m解：(1)y¢=-2mx91(2)y¢=10x+x2(3)y¢=(2-1)(3xx+2)2(3+xx+2)3(2-1)18+xx=x+2-2

5、x1-2lnx(4)y¢=3x2(sinx+xcos)(1tan)x+x-xsinsecxx(5)y¢=2(1tan)+xsinx+xcosx=-xsinx1tan+x2.求下列函数在给定的导数值(1)43fx()=5x+4x-50,求f¢(1)pp(2)fx()=cos3sinxx,求f¢(),f¢()6432解：(1)∵fx¢()=20x+12xf¢(x)=20+12=3222(2)∵fx¢()=-sinx+cosxp1pf¢()=,f¢()=06243.求下列函数的导数(1)225y=(x+a)

6、(2)y=sin2cos3xx(3)4x+5xy=e(4)y=elnsinxarccos3x(5)y=(6)y=arccos(ln)xx解：（1）224224y¢=5(x+a)2x=10(xx+a)（2）y¢=2cos2cos3xx-3sin2sin3xx4x+5（3）y¢=4ex（4）y¢=e(lnsinx+cot)xx--arccos3x2x+1-x2arccos3x1-x（5）y¢==-x222x1-x1（6）y¢=-2x1-lnx4．求下列隐函数的导数（1）yxye=2xy（2）e+ylnx-co

7、s2x=0解：（1）等式两端同时对x求导:y2yye¢=2y+2xy¢,y¢=ye-2x（2）方程两端同时对求导:xy1e(y+yx¢)+y¢lnx+y+2sin2x=0xxyxy1y¢(xe+lnx)=-ye-y-2sin2xxxyxye+y+2xsin2xy¢=-2xyxe+xlnx5．利用对数求导法则求下列函数的导数2sinx(x+1)(x-2)(1)y=(tan)x(2)y=5(x+4)(x+5)解：（1）等式两端取自然对数lny=sinxln(tanx)112y¢=cosxln(tanx)+s

8、ecxsinxytanx=cosxlntanx+secxsinxy¢=(tanx)[coslntanx+secx](2)方程两端取自然对数12lny=[ln(x+1)ln(+x-2)ln(-x+4)ln(-x+5)]51112x11y¢=[+--]2y5x+1x-2x+4x+521(x+1)(x-)212x11y¢=5[+--]25(x+4)(x+)5x+1x-2x+4x+5练习3.331.已知y=x-x计算x=2处当D=