微微积分答案 1

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1、练习1.11.下列式子中那些表示函数.()22221x+y+1=0(2)x+y+1=0(3)y=1-x1()2,x¹04y=0(5)y=ln(-1-x)(6)y=x,0x=02解：(1)x+y+1=0符合函数定义，是y与x的函数关系，是函数.22(2)x+y+1=0这个式子，不论x取什么实数值，找不到这样的规则，使2222y=-x-1，所以x+y+1=0不是函数.222(3)y=1-x的定义域需要x£1，因此y=1-x是定义域为-1£x£1的函数.(4)y=0表面上虽不含x但这个式子作为规则它表示“不论x取什么实数值，y总以唯一确定的数值0与之对应”，它是函数.222(5)y=ln(

2、-1-x)的定义域要求-x-1>0，但事实上-x-1£-1，也就是对任何实数x都没有按规则(2)y=ln-1-x与之对应的实数y，因此它不是函数.1(),x¹06y=x分段函数是函数.,0x=02.下列函数对中那些相同？x)1(f()x=,g()x=1x()()()()22fx=x+,1gx=x+1()()()223fx=,1gx=sinx+cosx()()2()24fx=x+,1gt=t+1x,1x>0解：(1)f()x==x-,1x<0它的定义域为(-¥0,)∪(,0+¥),g(x)=1的定义域为(-¥,+¥)两函数由于定义域不相同，所以它们是两个不同的函数.()()22f

3、x=x+1与g()x=(x+1)的定义域均为(-¥,+¥)，但它们的对应规则不同，当x<-1时f(x)=x+1<0而g(x)=x+1>0，所以它们不是相同函数.()()223fx=1与g(x)=sinx+cosx的定义域相同，对应规则相同，两函数是相同的.()()224fx=x+1与g(t)=t+1的定义域和对应规则均相同，是两个相同函数.3.求下列函数的定义域.2x+1(1)y=log(x-1)()2y=arccos2511()3y=()4y=+x+22lgx-51-x解：（1）由题得22x-1>0就是x>1，解得x>1或x<-1，函数的定义域为(-¥,-1)∪,1(+¥).x+1（2）因为

4、-1££1，所以-6£x£4，函数的定义域为[-]4,65（3）据题意得：x¹4x-5¹1x¹5x-5¹0，解得，x¹6x-5>0xÎR所以函数的定义域为(-¥4,)∪(5,4)∪(6,5)∪(,6+¥).（4）由题意得：21-x¹0x¹±1x+2³0x³-2函数的定义域为[-,2-)1∪(-)1,1∪,1(+¥).4.判断下列函数的奇偶性x-xe-e2()1y=()2y=lg(x-1+x)x-xe+e22x-x,x<0(3)y=x+sinx)4(y=2x+x,x³0-xxx-xe-ee-e解：（1）因为f(-x)==-=-f()xx-xx-xe+e

5、e+ex-xe-e所以函数y=是奇函数.x-xe+e)2(因为f(-x)=lg-x+1+(-x)2=lg(-x+1+x2)-11(2)=lg=lg=-lgx+1+x(2)2-x-1+xx+1+x=-f()x2所以函数y=lg(x-1+x)为奇函数.（3）因为22x是奇函数，sinx是偶函数，y=x+sinx为一奇函数和偶函数之和，且它们不恒等于零所以2y=x+sinx为非奇非偶函数.2x-x,x<0（4）作出函数y=的图形，图形关于y轴对称，故2x+x,x³0函数是偶函数.5．下列函数是否有反函数？为什么？若有反函数，求出其反函数-1()fxx-1（1）f()x=（2）f(x

6、)=x-1x+221x-xx0,£x<1（3）f()x=(e-e)（4）f(x)=2-2x+51,£x£2x-11+2f(x)解：（1）由f()x=解得x=x+21-f(x)-11+2x故所求反函数为f()x=.1-x（2）由()2-12fx=x-1解得x=f(x)+1就是f(x)=x+1x³01x-x2xx（3）由f()x=(e-e)得e-2f(x)e-1=02x2x2e=f()x±f()x+1（∵e>,0f()x-f()x+1舍去）(()2())x=lnfx+fx+1-12直接函数的反函数为f()x=ln(x+x+1)（4）在区间2-1)1,0[上f(x)=x的反函数是f(x

7、)=x，在区间[1，2]-11上f(x)=-2x+5的反函数是f(x)=-(x-)52x,0£x<1-1综上f(x)的反函数是f(x)=1.-(x-5),1£x£326．将下列函数分解成简单函数：2（1）x2y=2（2）y=sinx22x（3）y=arctan1+x（4）y=lglg2解：（1）t2y=2,t=x（2）2y=t,t=sinx2（3）y=arctanu,u=v,v=x+12