微微积分答案 5

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1、练习5.11.在空间直角坐标系下,下列方程的图形是什么形状?(1)22222x+2y=4z(椭圆抛物面)(2)x+y=4z(圆锥面）222xyz22(3)++=(1椭球面）(4)x+z=(1圆柱面）41692.求下列函数的定义域:(1)z=-x-yy³0解：x-y³0y³0即x³02x³y2函数的定义域为{(x,y

2、)x³,0y³,0x³y}3xy+(2)z=e+x-y解：∵x-y³0，函数的定义域为{(x,y

3、)x-y³0}3.对于函数f(x,y)=x-y,证明limf(x,y)
x+yx®0分析：由二元函数极限定义，我们只须找

4、到沿不同路径p®p(0,0)0时，所得极限值不同即可。证明：①pxy(,)x(x¹0,y=0)p(0,0)0f(x,y)=f(x)0,=,1limf(x,y)=1x®0y®0②当p(x,y)沿直线y=kx(x¹)0趋于（0，0）时，x-kx1-kf(x,y)==¹(1k¹)0x+kx1+k综合①②可知函数极限不存在。练习5.21.求下列函数的偏导数33¶z¶z①z=xy-xy,求,¶x¶y¶z23¶z32解：=3xy-y,=x-3xy¶x¶y¶z¶z②z=ln(xy),求,¶x¶y¶z1-111解：=[ln(xy)]2..y=¶x2xy2

5、xln(xy)¶z1-111=[ln(xy)]2..x=¶y2xy2yln(xy)22z¶z¶③z=xln(x+y),求,2¶x¶x¶y¶z1解：=ln(x+y)+x.¶xx+y2¶z¶¶z¶x1x+y-xx+2y=()=(ln(x+y)+)=+=222¶x¶x¶x¶xx+yx+y(x+y)(x+y)2¶z¶¶z¶x10-xy=()=ln(x+y)+=+2=2¶x¶y¶y¶x¶yx+yx+y(x+y)(x+y)3xyz¶u④u=e,求¶¶¶xyz2¶uxyz¶uxyzxyzzxyz解：=yze,=ze+yzxze=(z+xyze)¶x¶¶x

6、y32¶u¶¶u¶z2xyzxyz2xyz=()=(z+xyz)e=(z+2xyz)e+(z+xyz)xye¶x¶y¶z¶z¶x¶y¶z=xyz222xyz222e1(+2xyz+xyz+xyz)=e1(+3xyz+xyz)xy2f1,2(+Dy)-f)1,2(2．设f(x,y)=e,则limDy®0Dy22(1+Dy)f(2,1+Dy)-f(2,1)e0解：lim=lim(未定式)D®y0DyD®y0Dy022(1+Dy)e(2+Dy)10×-=limD®y012=4e233．设u=ln(1+x+y+z),在点（1，1，1）处求u+u+uxyz1解：

7、u=x231+x+y+z2yu=y231+x+y+z23zu=z231+x+y+z1233u+u+u

8、=++=xyz)1,1,1(4442xy2¶z¶z4．设z=e,求证2x+y=0¶x¶yxx¶zy21-2y2证明：∵=e×=ye2¶xyxx¶zy21-3y2∵=e××-x(2)=-2xye3¶yyxxxx¶z¶z-2y2y21-3y2-2y22x+y=2xye+ye××-x(2)=-2xye×+y2xye=03¶x¶yy练习5.31．求下列函数的全微分（1）求z=xy在点（2，3）处，当Dx=1.0与Dy=-2.0时的全增量与全微分解：全增量D

9、z=f2(+3,1.0-)2.0-f)3,2(=1.2´8.2-6=-.012dz=zD+xzD=D+D=´yyxxy30.12(0.2)+´-=-0.1xy（2）求22z=ln(1+x+y),当x=,1y=2时的全微分¶z2y解：dz=dx+dy22¶x1+x+y2412dz=dx+dy=dx+dy)2,1(1+1+41+1+433（3）u=xy+yz+zx,求du¶u解：du=dx+(x+zdy)+(x+ydz)¶x=(y+z)dx+(x+z)dy+(x+y)dz2．计算下列各式的近似值（分析运用公式fx(+Dxy+Dy)»fxy(,)+fxx¢D

10、+fyy¢D）01000（1）.203(10)1.解：令yf(x,y)=x,x=10,Dx=,1.0y=,2Dy=.00300.203(10)1.=f(x+Dxy+Dy)»f(x,y)+xf¢Dx+fy¢Dy010002y-1y=10+yx×1.0+xlnx×.001(10)2,(10)2,=100+2+3ln10»1089.(2)34ln(.103+.098-)1解:令f(x,y)=ln(3x+4y-)1取x=,1Dx=.003,y=,1Dy=-.00200原式=f(1+0.03,1-0.02)21-x3343»ln(1+1-1)+

11、(0.02)-3

12、4(1,1)x+y-111=0+´.003-´.002=.000534(3)00sin29ta