微微积分答案 2

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1、练习2.11.写出下列数列的前五项.2n-1(1)an=(n=,3,2,1⋯)3n+2n1(1)--(2)an=3(n=,3,2,1⋯)n()1n3an=(1+)（n=,3,2,1⋯)nn-12n-1(1)-x(4)an=(n=,3,2,1⋯)，其中x是固定的实数.(2n-1)!2n-1解：(1)由an=(n=,3,2,1⋯)得数列的前五项为3n+213579，，，，.58111417n1(1)--(2)由an=3(n=,3,2,1⋯)得数列的前五项为n22２，０，，０，.3335()1n3由an=(1+)(n=,3

2、,2,1⋯)得数列的前五项为n32435465２，()，()，()，().2345n-12n-1(1)-x(4)由an=(n=,3,2,1⋯)得数列的前五项为(2n-1)!3579xxxxx，-，，-，.1!3!5!7!9!2.做出下面各数列在数轴上的点，并说出哪些数列有极限？哪些没有极限？1nn1(1)an=n(2)an=-(1)n(3)an=-(1)2nn1pnp(4)an=(5)an=sin(6)an=nsin.n+1nn2解：作图略.(1)有极限为0(2)没有极限(3)有极限为0(4)有极限为1(5)有极限为

3、0(6)没有极限.3*（略）4*（略）5*（略）x,x<16.设f()x=，作f(x)的图形，并讨论当x®1时f(x)的左3x-,1x³1右极限，问limf(x)是否存在？x®1解：图略.因为limf(x)=2，limf(x)=1+x®1-x®1limf(x)¹limf(x)+-x®1x®1所以limf(x)不存在.x®17.求下列函数在指定点的极限.

4、x

5、(1)f(x)=在x=0处xx+4x<1(2)f(x)=在x=0，x=1，x=2处.2x-1x³1

6、x

7、1x>0解：(1)∵f(x)==x-1x

8、<0limf(x)=lim1=1，limf(x)=lim-1=-1++--x®0x®0x®0x®0

9、x

10、所以f(x)=在x=0处极限不存在.x(2)limf(x)=lim(x+)4=4，limf(x)=lim(x+)4=4++--x®0x®0x®0x®0x+4x<1所以f(x)=在x=0处极限为4.2x-1x³1limf(x)=lim2(x-)1=1，limf(x)=lim(x+)4=5++--x®1x®1x®1x®1x+4x<1所以f(x)=在x=1处极限不存在.2x-1x³1limf(x)=lim2(

11、x-)1=3，limf(x)=lim2(x-)1=3++--x®2x®2x®2x®2x+4x<1所以f(x)=在x=2处极限为3.2x-1x³18.下列函数在什么情况下是无穷大量，什么情况下是无穷小量？1(1)y=(2)y=lnxx-1()2x3y=x(4)y=e.11解：(1)当x®1时y=是无穷大量，当x®¥时y=是无穷x-1x-1小量.()+2当x®+¥时y=lnx是无穷大量，当x®0时y=lnx是无穷大量，当x®1时y=lnx是无穷小量.()223当x®¥时y=x是无穷大量，当x®0时y=x是无穷小量.

12、()xx4当x®+¥时y=e是无穷大量，当x®-¥时y=e是无穷小量.9.下列各题中哪些是无穷小，哪些是无穷大？1+2x-x(1)x®,0(2)x®2,0-12x+sinq(3)x®0,lgx(4)q®,0.1+secq解：(1)、(3)是无穷大，(2)、(4)是无穷小.10.下列说法是否正确？(1)无穷大量是极限为无穷大的变量(2)无穷大量是无界变量，无界变量也是无穷大量(3)无极限的数列一定无界.解：(1)不正确。无穷大量是绝对值无限增大的变量.(2)不正确.例如：2，0，4，0，6，0，……(3)不正确.例如数

13、列：1，-1，1，-1，……是有界的，但它没有极限.练习2.21.下列各题的解法是否正确?22x+2(x+)26(1)lim=lim==+¥x®2x-2x®2(x-2)0(2)lim(x+1-x)=limx+1-limx=¥-¥=0x®+¥x®+¥x®+¥()51513limxsin=limxlimsin=0.x®0xx®0x®0x解:(1)不正确.不能直接用商的极限运算法则，而应利用无穷大与无穷小互为倒数的关系求之.(2)不正确.当含有x的无理式，应先有理化，然后再求极限.1(3)不正确.因为limsin不存在，故

14、不能应用乘积的极限运算法则.x®0x2.求下列极限.()551lim3(x+2x+)3=lim3x+lim2x+lim3=3+2+3=8.x®1x®1x®1x®12x+13(2)lim=.2x®1x+x2p(3)lim(xtanx-1)=limxtanx-lim1=-1.ppp4x®x®x®4442x+2xx(x+2)x-22(4)lim=li