2、角形B0F曲中，斤=”£心，即£+】+%=2宀则耳+2+兀+1=2（〃+1）,所以xn+2-xn=2.当71为奇数时，x=d+2（）=n+a—I；2n当/?为偶数时，xn=2—q+2（——V）=n—ci。n-a,（77为偶数）n+a-l,（几为奇数）（2）当n为偶数时，一"I=n—（n—a）=a^>a=—（n=2）41212111n当n为奇数时，=比一（〃+0—1）=1一0=>。=,41212421当n=1B4,a=—；当n=3时，a=—°3627即当d二一时，第一个三角形为等腰直角三角形；当ci=—时，第二个三角形为等腰直角三
3、角形；当312a=-时，第三个三角形为等腰直角三角形。n17变式1：点厶（占,0）,坊（兀2,0）,，场（兀”,0）,顺次为兀轴上的点，其中西=*,数列｛%｝是公差为1的等差数列•对于任意点B『代,B沖均构成以九为顶点的等边三角形，求：（1）数列｛£｝的通项公式；（2）顶点A所在的轨迹方程解：(1)Xn=Xj+/I—1=A2(2)顶点&的轨迹方程是y=±y-o变式2：点4(占,0),场(兀2，°)，，3Q”,0),顺次为兀轴上的点，色在原点.对于任意点E，A，E+i均构成以人为顶点的等边三角形，且由等边三角形的边长｛BnBn+l｝
4、构成的数列是首项为1、公差为1的等差数列。求：(1)数列｛£｝的通项公式；(2)顶点&所在的轨迹方程2分析与解：(1)戈=1+2++"評一1)=宁?9n一nnrrx=+—=(2)设Add)，则即为所求的轨迹方程。22y~变式3：点BiGWBjg,。),,B”(£,0),顺次为x轴上的点，其中=0,%2=1.对于任意ngN",点B“A，B屮均构成以九为顶点的等腰直角三角形，且顶点A,在抛物线y2=2px(p>0,yA0)上。求:(1)抛物线方程；(2)数列｛BnBtl+l｝的通项公式仇；(3)耳点的坐标解：(1)因为A(丄丄)，所
5、以2p=-,即所求的抛物线方程为/=
6、x(^>0)；⑵由已知得，b]=1,设A’(x,y),则>j2=yXox=b}+b2+①,②，②■①得’氐1-比=$+]+$,=>®+i—®=1,所以hn=no99n"——/?n—n⑶因为兀=1+2++(/2-1)=——,所以Bz?(——,0)o变式4：如图，在直角坐标系xOy中，有一组对角线长为心的正方形AnBHCnDn(〃=1,2,…)，其对角线依次放置在x轴上(相邻顶点重合)•设｛〜｝是首项为Q,公差为6/(6/>0)的等差数列，点的坐标为(d,0).(1)当d=&d=4时，证明：顶点A
7、、生、金不在同一条直线上；(2)在(1)的条件下，证明：所有顶点A”均落在抛物线严=2兀上；(3)为使所有顶点观均落在抛物线y2=2px(/7>0)±,求d与d之间所应满足的关系式.解：(1)因为4(&4),企(1&6),A3(32,8),所以心人二口=1kAA二皂2=1A218-85-332-187因为k“k—所以顶点不在同一条直线上.畀一1(2)An的横坐标xn=d+绚4-u，21~d”_i+—=2(a?+1)-,An的纵坐标yn=—=2(/?+1).因为点&(乙，儿)的坐标满足方程/=2x,所以&均落在抛物线y2=2x上/?
8、一1,(3)因为兀“=d—d+(7?—l)d—(幷_d,yn=—[ci+(zi—Y)d],/肖去222可得兀〃」£+〃+空二2"d"2d为使得所有顶点A“均落在抛物线y1=2px(p>0)上，则有d9石=2p，2解得d=4p,a=Sp.〃+址空=o2d所以a、d所应满足的关系式是：a=2d.变式5：已知点人(1,2),4(2,2?),，&(尽2”)，，点4(西,0),场(兀2,0),,B”(兀,0),顺次为兀轴上的点,其中x｛=a(09、)依次记b｝b2的面积为小B2P2B.的面积为归，…，站几+Q屮的面积为盼试求数列｛为｝的前n项和Sn解：⑴xn=n-a为偶数)n+«-l,(n为奇数)(2)当〃为偶数时,12S”=-[(2-10)(2+23++2心)+2tz(22+24
