专题619：数列方程问题的研究与拓展

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1、专题6.19：数列方程问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：(1)已知数列｛如的前几项和S”满足：Sw+Sn=Sm+n,且d]=l挪么。10=.(2)已知数列a｝的前n项和S“满足：Sm-Sn=Sfn+n,且Q]=2.那么6/10=•(3)已知数列｛%｝中，4=1,02=0,若对任意的正整数血和n(n>m)满足：此则吗19二•参考答案：1.12.5123.-1探究2：已知数列｛an｝,[bn]满足a)=l,«2=2,&i=2,且对任意的正整数i,j,k、Z,当i+j=k+l12011时都有a^bj=ak+bh则——工(q+勺)的值是•2U11变式1已知数列｛為

2、｝,｛仇｝满足^1=1,d2=2,Z?

3、=2,且对任意的正整数i,j,k,/,当i+j=k+l时都有arbj=a^bh1H则丄£心+勺)的值是.变式2数列｛皿，｛如满足他=1,存2,b】=2,且对任意的正整数i,厶k、/,当i+j=k+l时都有a妒讪,记ctl=寸(q+勺)@2+”2)(。3+$)•~•(5+饥),贝IJ｛cn｝的通项公式为探究3：已知数列｛%｝的前三项分别为吗=5,色=6,他=8,且数列｛色｝前兄项和S”满足S,®=—(S2n+S2w)-(/?-m)2,其中册,刃为任意正整数・求数列｛a“｝的通项公式a”・解:令归，心2,S3=

4、(S2+S

5、4)-1,S4=29,a4=10,令m=l,SM+1=

6、(S2n+S2)-(/?-l)2,厶厶令"2=2,S“+2=—(^2n+$4)—(n—2)2,・°・cin+2=+2一=2/?—34-4_-=2/?+6=2(A?+2)+2,=J5,(77=1)an=2n+2,(n>3)又勺=6符合，q=5不符合，二一2料+2,(沦2)变式：设数列｛色｝的各项都为正数，其前〃项和为S”，对于任意正整数m‘,=如”“)一1恒成立・(1)若5=1,求如计4及数列｛©｝的通项公式;(2)若创=勺(4+勺+1)，求证：数列是等比数列.(注重对条件的功能性分析)解：(1)由条件

7、，令加=得1+S2=y/2a2(l+S2).(14-S2)2=2^2(1+52).贝01+S2=2«2・•■・。2=1+4・'•=1»・■・a?=2•令加=l,n=2,得14-53=yj2a2(1+S4)・则(4+他)2=4(4+色+G4)・令加=2/=l,得1+S3=j2q(l+S2)・则(4+6z3)2=8«4・解得@=4,^=8.得1+S,m=j2%(l+S2”)・令m=,得1+S卄严戸丽芯5・令加=2,得1+S”+2=丁绒(1+S?”)・二j*s""=wgN*).=2,则数列｛l+s”｝(/1^2,/7eN*)是公比为2的等比数列.・・・1+S“=

8、2・2”t=2"・an=2n~l(2)在①中，令加=2,〃=2,得l+S4=j2d4(l+SJ・贝Ijl+S4=2tz4・A1+S3=cz4・在①中，令加=l,n=2,得I+S3=Qtz/I+Sj・贝I]1+S3=J2勺(1+S3+4)'^4-l^a2X-则為=4色.q=2.代入(*),得an=(l+S2)2n'3(心3,neN*).(*)由条件«4=。2(。1+勺+1)，得4+勺+1=4・•・・。2=1+®,・・・4=1,.・.。2=2・则an=4x2m_3=2w_1(n$3,mN*),•・・q=l,・・・°2=2也适合上式，二色JwN*)・・•・数列｛

9、%｝是等比数列.拓展：已知数列｛d“｝满足a=0,他=2,且对任意〃7、nWN都有dim-1+他“-1=2如+”-]+2(7?i—«)2(1)求03,。5；(2)设b„=Cl2n+1-a2n-证明：｛仇｝是等差数列;(3)设cn=(an+1—an)qn~1(^0,求数歹lj｛c“｝的前/?项和S“."j卜运.g/r（♦K-20•2代替“叭叫卅】-（"*1~“2.!）匚H.

10、!卩爲：：•：「M讥创山ME山,⑷心1力怡总汁”桃卅，「小恥和;M.匂"「曲丿辅：(丨)山址您.令川、2,…I吋阳心(2分)"4m■3・”・I町田心(II'“in

11、f叫“'♦叫■“a2a^H于btdJ(^.t)»

12、6.“b.m，8J；p所以•数对"J，扯公堆护的零总数列(III山(1：气(H)的薯答©如孔」超杵项&：=哲-5=6.公於:为8的等莎数列圳久=弘.2>f®一’・L、K?%

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