专题6.6：数列中的数阵（数表）问题的研究与拓展

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1、专题6.6：数列中的数阵（数表）问题的研究与拓展【课本溯源】1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram）发现了“正方形筛子”：47101316…712172227…1017243138…1322314049…1627384960…………………（1）这个“正方形筛子”的每一行有什么特点？每一列呢？（2）“正方形筛子”中位于第100行的第100个数是多少？解：(1)这个“正方形筛子”的每一行与每一列都是等差数列；(2)因为第100行的第1个数是第1列的第100个数，而第1列的数组成以4为首项，3为公差的

2、等差数列，通项公式为，故；第100行的第2个数是第2列的第100个数，而第2列的数组成以7为首项，5为公差的等差数列，通项公式为，故.所以，第100行组成以301为首项，为公差的等差数列，通项公式为，从而第100行第100个数为.【探究拓展】探究1：求数阵所暗示的规律（通项公式）观察：11+2+11+2+3+2+11+2+3+4+3+2+1……(1)第100行是多少个数的和？这些数的和是多少？(2)计算第行的值.【解答】(1)第100行是199个数的和，这些数的和是；(2)第行的值是.变式：（2004年春季高考·北京，

3、20）下表给出一个“等差数阵”：47（）（）（）…………712（）（）（）…………（）（）（）（）（）…………（）（）（）（）（）…………………………………………………………………………………………………………其中每行、每列都是等差数列，表示位于第行第列的数(1)写出的值；(2)写出的计算公式；[文史类：写出的计算公式以及2008这个数在等差数阵中所在的一个位置.](3)证明：正整数在该等差数列阵中的充要条件是可以分解成两个不是1的正整数之积.【解答】(1).(2)该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：.第

4、二行是首项为7，公差为5的等差数列：……第i行是首项为，公差为的等差数列，因此，.文史类：要找2008在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数，使得，所以.当时，得,所以2008在等差数阵中的一个位置是第1行第669列](3)必要性：若在该等差数阵中，则存在正整使得，从而，即正整数可以分解成两个不是1的正整数之积.充分性：若可以分解成两个不是1的正整数之积，由于是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数，使得，从而，可见在该等差数阵中.综上所述，正整数在该等差数阵中的充要条件是可以分解成两个不是1的正整数之积.探

5、究2：求数阵中指定的某些项（2008年高考·江苏，10）将全体正整数排成一个三角形数表：12345678910．．．．．．．按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为.【解答】通过列举、分析、归纳、猜想，前行共有个数，即共有个，因此第行第3个数是全体正整数中第+3个数，即.变式：将自然数排成如下的螺旋状：第一个拐弯处的数是2，第二个拐弯处的数是3，第20个及第25个拐弯处的数分别是，.【解答】由图可知，前个拐弯处的数依次是2，3，5，7，10，13，17，21，26，L，①这是一个数列题目，要求找出它的第20项和

6、第25项各是多少，因此要找出这个数列的规则，经观察，该数列的后一项减去一项，得一新数列1，2，2，3，3，4，4，5，5，L②把数列①的第一项添在数列②的前面得2，1，2，2，3，3，4，4，5，5，L③观察数列①，③发现原数列①的第项就等于数列③的前项和,即，，，L,故第20个拐弯处的数=2+1+2+2+L+10+10=1+2（1+2+L+10）=111=2+1+2+2+…+12+12+13=170.方法二：设第个拐弯处的数为，显然a1=2，，∵20=2×10，25=2×12+1，∴=1+2(1+2+L+10)=11

7、，=1+2(1+2+L+12)+13=170.【评注】方法一到方法二由具体到抽象，体现出思维不断优化的过程。解决数表问题，需细心研究其元素的排列的规律，即构成数列的元素，或数列的项是按照何种规则排列而成的，有时即使找到排列的规则，但如果不能对所发现的规律所蕴含的信息进行整理再加工，解题同样会误入歧途.探究3：求数阵中某指定项的位置全体正奇数排成下表：1357911131517192123252729……其构成规律是：第行恰有个连续奇数；从第2行起，每一行第一个数与上一行最后一个数是相邻奇数，则2005是第行的第个数.【

8、解答】行共有个奇数，因此，第行的最后一个数是.从而第行的第一个数是，令，解得，，故2005是第45行的第个数，则，得.故2005是第45行的第13个数.探究4：求数阵中所有项或某些指定项的和个正数排成行列（如下表），其中每行数都成等差数列，每列数都成等比数列且公比都相等．已知，，，则．【解答】设第一行数列的公差为，各列数列公比为，