专题611：数列中公共项问题的研究与拓展

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1、专题6.11：数列中公共项问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：设｛%｝是公差不为0的等差数列，q=2且吗,他卫6成等比数列，贝0｛an｝的前n项和Sn=变式1：等比数列｛色｝的前n项和为且4®,2色，色成等差数列，若勺=1,贝IJ变式2：已知｛%｝为等差数列，公差dHO,｛atl｝的部分项作、代2、…、％恰为等比数列，若心=1,k?=5,kg=17,求kn.变式3：设数列｛色｝是公差不为零的等差数列，引=2,冬=6,若自然数耳山2,…％，•…满足3<卩<◎<•••<饮<…，且^，务仏，…。”,…是等比数列，则域二.3切；提示:｛an｝是以2为首项，2为公差的等差数列，・••色=2斤

2、；・・・％=2兔4，色4，・"，…是以2为首项，3为公比的等比数列，・・・％=23宀，・••兔=3如・1J"IK变式4：已知各项均为正数的等差数列匕」的公差d不等于0,设a｝^ak是公比为q的等比数列｛$｝的前三项，(1)若k=7,a｝=2(i)求数列辺代｝的前n项和几；(ii)将数列｛色｝和｛仇｝的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列｛c“｝,设其前n项和为h,求S”—22"-1+3•2'i)的值；(2)若存在m>k,mgN使得a[,a3,ak,am成等比数列,求证k为奇数.(研究子数列问题的根本着力点是算两次)(1)因为"7,所以q,為厲成等比数列，又仏｝是公差d工0的等差数

3、列，所以(q=坷(坷+6〃)，整理得a｝=2d,又勺=2,所以d=1,$=q=2,q=A=^=坷+2〃=2,所以a=a｝+(/?_l)d=n+1,乞=b｝xqn~x=2",b、qq①用错位相减法或其它方法可求得｛q血｝的前n项和为7；=/7x2刈；①因为新的数列｛_｝的前r-n-1项和为数列匕｝的前2〃-1项的和减去数列他｝前〃项的和，所以(2〃一1)(2+2〃)2(2〃一1)22-1-1).所以S“-22"-1+3•2〃」(n>2山e^)=l.(2)由(q+2J)2=Q](q+(k-V))d,整理得4d2=a}d(k-5),因为dHO,所以d=4伙所以q=±==4qq2因为存在m

4、>N使得,ci3,%am成等比数列，所以am=axq3=ax又在正项等差数列｛©｝中，d,”=Cl+（〃2-l）d=Q]+—鉴一—所以4+曲一1）伙一J3,又因为>0,有2[4+伽-1)伙-5)]=伙-3)3,因为2[4+（加-1）伙-5）]是偶数，所以伙-3尸也是偶数，即k-3为偶数，所以上为奇数.拓展1：（1）是否存在不相同的三个数，使得三个数既成等差数列又成等比数列？（2）是否存在这样的三元素集，使得三个元素既成等差数列又成等比数列？（3）设绚卫2,…，色是各项不为零的>4）项等差数列，且公差dHO,若将数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，所有数对nA所组

5、成的集合为d丿（4）（1）设4，色，色是各项均不为零的等差数列（；1>4）,且公差dHO,若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列.①当几=4时，求牛的数值；②求〃的所有可能值；a（2）求证：对于一个给定的正整数（/i>4）,存在一个各项及公差都不为零的等差数列％勺bn,其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列【解】本小题考查等差数列、等比数列的综合应用。（1）①当川二4时，cggS中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出若删去色，则=a｝-a4,即(q+d)?=q・(妬+3〃)化简得a｝-d=0,得牛二1a综上，得^=-4或牛二1aa

6、②当川二5时，马宀心,％^中同样不可能删去444，%，否则出现连续三项。若删去色，则aA-a5=a2-a4,即d[(q+4

7、假设对于某个正整数n,存在一个公差为d的n项等差数列勺02,••…bn,其中如如如(0