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《专题610：数列中存在性问题的研究与拓展》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、专题6.10：数列中存在性问题的研究与拓展【课本溯源】证明：1,V2,3不可能是一个等差数列中的三项.【探究拓展】探究一:探究1：设等差数列a｝的前n项和为S”,且绻+知=34,53=9.（1）求数列匕”｝的通项公式及前川项和公式;（2）设数列0｝的通项公式为»=化，问：是否存在正整数（，使得耳，bman十f（,W>3,meN）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.【解】（1）afJ=2n-UStl=n22/7—1（2）bn=,要使得—成等差数列，贝1]2乙二勺+乞2n-+t口门小312m-1an4艮卩：2=+艮卩：加=33
2、+/1+/2/77-1+/t-■:m,tgN*、：・t只能取2,3,5当/=2时，m=7；当t=3时，m=5；当t=5时，m=4.【注】“存在”则等价于方程有解，本例利用整除性质解决.探究2：设｛匕｝是公差不为零的等差数列，S”为其前〃项和，且2乍°2a2+=af+条，S?=7.（1）求数列｛%｝的通项公式及前〃项和S”；（2）试求所有的正整数加，使得肚沁为数列｛陽｝中的项.5+2【解】（1）设公差为d,则a：—,由性质得—3/（^4+eg）=d@4+色），因为dH0,所以吗+。3=°，即2吗+5〃=0,又由S7=7得7q+7x6"T"d=7,
3、解得q=—5,d=2,所以｛an｝的通项公式为％=2h-7,前n项和S〃=n2—6n.⑵沁」⑵-7）（2心）,若其是创中的项，则⑵_7）（2加-5）=2_7,u屮22m-32m-3令/=2加一3,贝=/+§_6=2—7,%+2ftQ即：2/7=/+—+1所以/为8的约数.因为f是奇数，所以（可取的值为±1,t当t=.即m=2时，n=5；当t=-,即加=1时，n=-4（舍去）.所以满足条件的正整数m=2.【注】不仅可以利用整除性质解决，也可利用奇偶性分析.探究3：已知数列｛為｝中，672=1,前n项和为S”，且S“二火”严.(1)求Q]；(2)
4、证明数列｛“｝为等差数列，并写岀其通项公式；⑶设lg/7,=^，试问是否存在正整数〃，g(其中lv/心)，使九如如成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组S，q);若不存在，说明理由.【解】⑴令21,则乜牙亿0・⑵由S„=n(fl"-fl
5、},即5,,=^9①归c5+l)a”+i侍_2•②②一①,得(n-l)a”+
6、=nan・③于是,叫+2=5+1)%+i・④③+④，得叫仪+nCln=2叫+],即色+2+an==2d”】又d)=0,a2=,a2—a[=,所以，数列｛禺｝是以0为首项，1为公差的等差数列.所以，citl=n—1.(3)解法1：
7、假设存在正整数数组95使枷,bp,切成等比数列,则1物，1旳，1劝“成等差数列，于曰疋，3厂33"・八2时，驾拌一糾导V0,故数列｛器｝(p>2)为递减数列，q3时，(*+年占-(*+寺)=寻字vO,故数歹9｛*+寻｝(空3)为递减数列,(钻=-,(-+—)=-,即#=2,g=3时，空=£+旦y7rnax9$、3y179(”y3y又当p>3时，=故无正整数q使得Y=3+y成立.解法2：同上有，詁+刍〉芥且数列｛器｝(p>2)为递减数列，当p=2时,器=£冷成立;当八3时,=因此，由得’P=2、此时g=3【注】在利用“范围”控制正整数的值时，常
8、用求值域的方法：单调性.本例蕴含分类讨论思想.探究二：探究1：等差数列｛色｝的前兄项和为S”，+S3=»3迈.(1)求数列｛色｝的通项％与前斤项和S”；(2)设仇二亠(mN*),求证：数列｛$｝中任意不同的三项都不可能成为等比数列.n[cl—V2+1,【解】(1)由已知得J厂，•：d=2,&]+3d=9+3血故a”=2/t-l+血，S”=n(n+[2)・(2)由(1)得hn=^=n+y[2・n假设数列他｝中存在三项妇bq,br5G厂互不相等)成等比数列，则=bf)bf..EP((/+V2)2=(^+V2)(r+V2).(亍-pr)+(2q-p-
9、r)>/2=0p,q,rgN*,=pr,(p-r)2=0,二p=r.q2-pr=Q,[2q-p-r=O,与p工厂矛盾.所以数列｛仇｝中任意不同的三项都不可能成等比数列.【注】在反证法中利用有理数性质产生矛盾.探究2：已知数列｛%｝满足：州=丄,3(1+%)=2(4a”，<0(n>,数列｛$｝满足21一色1一4冲$=必一必心)・(1)求数列｛色｝,｛$｝的通项公式;(2)证明：数列｛$｝中的任意三项不可能成等差数列.2?【解】(1)由题意可知，1一
10、=-,公比为〒的等比数列，即3<913?311q专IjJ'故皿“盲'又。二>°w°/3?1?故色T亍严，仇盲(§严・(2)假设数列｛$｝
