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《一轮复习专题数列中的存在性问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、专题：数列中的存在性问题学大苏分教研中心周坤一、单存在性变量解题思路:该类问题往往和恒成立问题伴随出现(否则就是一个方程有解问题，即零点问题)，可以先假设存在，列出一个等式，通过化简，整理成关于任意性变量(一般为n)的方程，然后n的系数为0,构造方程，进而解出存在性变量，最后检验。例1、已知数列｛陽｝的前兀项和为%=+5n,在数列｛'｝中,勺=8,64乞+i二0,问是否存在常数c使得对任意斤，6+1O&%恒为常数M,若存在求出常数c和M,若不存在说明理由.解析：假设存在常数c使得对任意斤，陽+1°&®恒为常数M,••S〃二3n2+5n•一>••・当斤二1时，则5二S］
2、二8,当n>2时，陽二—S“_
3、二3比2+5〃一［3(比一1)2+5(/2-1)］=6a?+2,当斤二1适合，,.%6”+2,阳丄又・.・64為-仇二0,.bn二矗，丄•••数列｛'｝是首项为8,公比为64的等比数列，8(1)〃T•bn=64二29®••>则an+logc仇二6兀+2+Iogr29_6w_6n+2+(9-6n)log“2二6(1-log。2加+2+9log“2又•••对任意J°”+l°gc仗恒为常数.6(1-log“2)二°,解得c=2,.M二2+9呃2二］］•••存在常数C二2使得对任意斤,色+1°&'恒为常数A/=11.二、双存在型变量解题思路：先
4、假设存在，根据题目条件，列出一个含有两个变量(一般至少都为正整数)的等式，即转化为一个数论中的双整数问题，然后分离变量。如果可以分离常数，则利用数论中约数的知识列出所有可能情况，最后进行双检验，即对两个变量均进行条件检验；如果不可以分离常数，则利用分离出的变量所具有的隐含范围(如大于0)消元，进而构造一个不等式，解出另一个变量的范围，再列出求出的被压缩的范围里的所有整数值，分别求出对应的另一个存在性变量，最后进行检验。例2、【201()南通一模】设等差数列他｝的前72项和为必且％+%=34,S3=9(1)求数列S"｝的通项公式及前斤项和公式；bn=-^~(2)设数列©
5、｝的通项公式为心，问：是否存在正整数r,使得加“bm(m>3,^eN)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.【解】(1)设等差数列的公差为d・由已知得a5+马3=34,3禺=9，q+8〃=17,a】+d=3,解得4分.故色=2〃一1,Sn=n.2n-lb—-⑵由(1)知"一2_1+/.要使X-成等差数列，必须2优f+乞，即31囱一111分(3)整理得因为m,t为正整数，所以t只能取2，3，5.当/=2时，加=7；当（=3时，加=5；当/=5时，加=4故存在正整数t,使得也’妇“成等差数列.15分例3、设数列9"｝的前〃项和$严兄［数列｛'｝满足=—
6、——(mgN")an+m所以汗2几—12/7-1+m15b、—,E==贝寸1+m「3+m115+加，（T）若也厶成等比数列，试求加的值;（U）是否存在加，使得数列他｝中存在某项切满足b,bjgh5）成等差数列?若存在，请指出符合题意的加的个数；若不存在，请说明理由.解：（［）因为=，所以当n>2时，Q“=S厂St=2〃_14分又当斤=］时，q=S】=l,适合上式，所以色=2力_1解得m=0（舍）或加=9,所以m=9(丄)一丄X旦得3+7771+77715+m（□）假设存在用，使得%勺,切（虫"八5）成等差数列,即“a,则2x2—12r-1+m心7+，化简得36m-5
7、12分所以当加-5=1,2,3,4,6,9,12,18,36时，分别存在r=43,25,19,16,13,11,10,9,8适合题意,即存在这样加，且符合题意的加共有9个14分例4、［2010徐州三模】已知数列仏」是各项均不为（）的等差数列，：为其前〃项和，且满足咕九一,令"U%、,数列仇｝的前n项和为人.（1）求数列｛〜｝的通项公式及数列｛'｝的前门项和为人；（2）是否存在正整数弘〃（lv〃7Vn）,使得TvTnlJn成等比数列？若存在，求出所有的%”的值；若不存在，请说明理由.[a}°：=52„-i=（4+鋼）（加1）=（2/?_）a解：（1）因为（是等差数列
8、，由2又因为色工°，所以色=2n—1b=丄=1」(L)由"anan+(2/7-1)⑵2+1)2-12〃+1Tn=-(1--+---+所以2335+—)=—^―2n-2m+12n+1（2）由⑴知，n2/7+1m2m+1n2/2+1若T^Tn成等比数列,(斗」(亠则2m+132刃+1,即4/712+4m+16〃+3m2m23-2m2+4m+1解法一：由4m2+4m+6/2+3?可得斤1-从而：a/6a/61,所以777=2，此时72=12.故可知：当且仅当m=2,n=2使数列殳7和中的T^Tn成等比数列。16分所
