数列中的存在性问题 经典(教师)

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1、专题：数列中的存在性问题一、单存在性变量解题思路：该类问题往往和恒成立问题伴随出现（否则就是一个方程有解问题，即零点问题），可以先假设存在，列出一个等式，通过化简，整理成关于任意性变量（一般为n）的方程，然后n的系数为0，构造方程，进而解出存在性变量，最后检验。例1、已知数列{}的前项和为=，在数列{}中，=8，=0，问是否存在常数使得对任意，恒为常数，若存在求出常数和,若不存在说明理由.解析：假设存在常数使得对任意，恒为常数，∵=，∴当=1时，则==8，当≥2时，===，当=1适合，∴=，又∵=0，∴=，∴数列{}是首项

2、为8，公比为的等比数列，∴==，则===，又∵对任意，恒为常数，∴=0，解得=2，∴==11，∴存在常数=2使得对任意，恒为常数=11.二、双存在型变量第11页共11页解题思路：先假设存在，根据题目条件，列出一个含有两个变量（一般至少都为正整数）的等式，即转化为一个数论中的双整数问题，然后分离变量。如果可以分离常数，则利用数论中约数的知识列出所有可能情况，最后进行双检验，即对两个变量均进行条件检验；如果不可以分离常数，则利用分离出的变量所具有的隐含范围（如大于0）消元，进而构造一个不等式，解出另一个变量的范围，再列出求出的

3、被压缩的范围里的所有整数值，分别求出对应的另一个存在性变量，最后进行检验。例2、【2010南通一模】设等差数列的前项和为且．（1）求数列的通项公式及前项和公式；（2）设数列的通项公式为，问:是否存在正整数t，使得成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.【解】（1）设等差数列的公差为d.由已知得………………2分即解得……………………………………………………………4分.故.…………………………………………………………………6分（2）由（1）知.要使成等差数列，必须，即，……………………………………………………

4、…………8分.（3）整理得，……………………………………………………………11分因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5.当时，；当时，；当时，.故存在正整数t，使得成等差数列.………………………………15分例3、设数列的前项和，数列满足.（Ⅰ）若成等比数列，试求的值；（Ⅱ）是否存在，使得数列中存在某项满足成等差数列？若存在，请指出符合题意的的个数；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）因为，所以当时，……………………3分又当时，，适合上式，所以（）…………………4分第11页共11页所以，则，由，得，解得（舍）或，所以…………

5、……7分（Ⅱ）假设存在，使得成等差数列，即，则，化简得…………………………………12分所以当时，分别存在适合题意，即存在这样，且符合题意的共有9个………………………………………14分例4、【2010徐州三模】已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前项和，且满足，令，数列的前n项和为.（1）求数列的通项公式及数列的前n项和为；（2）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由.解：（1）因为是等差数列，由，又因为，所以，………………………………………………………2分由所以．…………………………

6、…6分(2)由(1)知，，所以，若成等比数列，则，即．……8分第11页共11页解法一：由，可得，所以，……………………………………………………………12分从而：，又，且，所以，此时．故可知：当且仅当，使数列中的成等比数列。…………16分解法二：因为，故，即，………12分从而：，（以下同上）．三、三个存在型变量------连续的解题思路：这类问题的形式一般是，“是否存在连续的三项，恰好成等差数列（或等比数列）”。可以先假设存在，然后构造一个关于单存在性变量的方程，即转化为一个方程有正整数根的问题，我们可以按照处理零点问题的方

7、法（“解方程”或者“画图像”）求解。例5、【扬州2010一模】已知数列，.⑴求证：数列为等比数列；⑵数列中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；⑶设，其中为常数，且，，求A∩B.解：⑴∵=，∴，∵∴为常数∴数列为等比数列------------------------------------------------------------4分⑵取数列的连续三项，第11页共11页∵，，∴，即，∴数列中不存在连续三项构成等比数列；-----------------------------------------

8、-9分⑶当时，，此时；当时，为偶数；而为奇数，此时；当时，，此时；----------------------------------------------12分当时，，发现符合要求，下面证明唯一性（即只有符合要求）。由得，设，则是上的减函数，∴的解只有一个从而当且仅当时，即，此时；当时，，发现符合要