18数列中存在性问题的研究(2)

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1、专题：数列中存在性问题的研究(2)一、问题提出二、思考探究探究1：已知数列⑺｝中,a2=a(a为非零常数),其前n项和几满足：S”="®「%wN*).(1)求数列仗“｝的通项公式;(2)若a=2,且扌疋_S”=11,求〃7、/?的值；(3)是否存在实数°、b,使得对任意正整数卩，数列｛禺｝中满足a,^b

2、t+i=naflhgN*,.•.必“+2=(卄1)心+1，两式相减得,2an+=an+^anwgN*,即an+—an+i=an+—atl/zgN*,故数列｛g“｝是等差数列，又d

3、=0,a2=af:.atl=(n—l)a.⑵法一：由丄疋一S”=11,得/一〃+11=伽-1)2,显然n=11且加二12是方程的一组解当/7>11时，川―n+iiv/,此吋比兀2小的平方数中最大的一项则是(〃_1)2,所以(m-1)2<(n-1)2,即/i2-n+ll<(n-l)2,得/i+10<0无解当n<11时，h2-/i+1

4、1>/i2,此时比屛人的平方数中最小的一项则是5+1)2,所以(m-1)2>(n+1)2,即n2-n+ll>(n+l)2,得3〃一1050,整数“=3,2,1逐项检验，加无整数解；法二：由丄尤—S”=ll,得卄11=伽—I)?,即4(加—I)?一⑵L1)=43,4/.(2m+2n-3)(2m—2n-1)=43.43是质数，2m+2n-3>2m—2n-1,2/力+2〃一3>0,2m~2n—1=12〃?+2z?—3=43，解得m=12,n=ll.(3)由a,^b

5、合题意，舍去;若a>0,则nfu丁不等式an+b0),数列数列｛勺｝满足：d]=l,an+[=f(an),XV对IwN),S”=a；+a；+...+ci~,Tn=——H——+...——.aa2

6、an(1)求证：/(x)4-—-—=2(x4-—);(2)求S“+Tn；（3）在数列｛Sfl+Tn｝屮是否存在不同的三项，使得此三项能成为某一三角形的三条边长？若能，请求出这三项；若不能请说明理由.【解析】(1)证明：f(x)=x+-+Jx2+-^+l,xVx11121[/(兀)1ni-xnx2XHFa/XH2+1XVX•")+洽2(出).（2）K（Q'由⑴知w+命=2（记），•••％+±=2（。”+*）,设+右,V/（x）>0,:.bn>0,列｛仇｝是等比数列,公比为2,首项b=2,数列｛叶｝是等比数列，公比

7、为4,首项叶=4,又a；+g=（a”+丄）—25an・・.S”+7；=斤+员+・・・+比_2〃=4(；_；)_2〃=扌(4"_1)_2〃.8分(3)设cn=Sn+Tn,假设在数列｛Sn+Tn｝中存在三项ck,cs,cf(k

8、一c”=a~+x+—>0,A数列c“=一(4"—1)—2〃是递增数列…：qct,依题意—1,k51—2,且由丁ck+cs

9、~ct-ct-+ct-2~ct444=[y(4/-1-l)-2(r-l)]+[-(4一2-1)-2(r-2)]-[-(4/-l)-2r]x4f-2r+6<012所以q+cs

10、n,使lg(S”-m)+lg(Sn+2-m)=2lg(Sn+1-m)成立?若存在，请求出相应的若不存在,说明理由.解：(1)乂二4(1一*)2,・・・Sw—cv2Sr—2c即cv2Sr—S如，代入计算得c<4-^,因为对任意的£恒成立，所以0vcvl(1)符号为负证明:当g=1时，SR*-S；]=naA-(n4-T)ax-[(n4-1)^]2=-a｛2<0当qHl时，・