17. 数列中存在性问题的研究(1)

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1、专题：数列中存在性问题的研究（1）一、问题提出问题：1，，3不可能是一个等差数列中的三项．二、思考探究探究一：探究1.1设等差数列的前项和为且．（1）求数列的通项公式及前项和公式；（2）设数列的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．【解】（1）（2），要使得成等差数列，则即：即：∵，∴只能取2，3，5当时，；当时，；当时，．【注】“存在”则等价于方程有解，本例利用整除性质解决．探究1.2设公差不为零的等差数列的各项均为整数，Sn为其前n项和

2、，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）试求所有的正整数m，使得为数列中的项．【解】（1）因为是等差数列，且，而，于是．………2分设的公差为d，则由得，化简得，即，解得或，但若，由知不满足“数列的各项均为整数”，故．………5分于是．……………………………………………………7分（2）因为，，……10分所以要使为数列中的项，必须是3的倍数，于是在中取值，但由于是3的倍数，所以或．由得；由得．…………………………………………13分当时，；当时，．所以所求m的值为3和4．……………………………………………

3、……………16分另解：因为 ，所以要使为数列中的项，必须是3的倍数，于是只能取1或．（后略）探究1.3已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且．（1）求a1；（2）证明数列{an}为等差数列，并写出其通项公式；（3）设，试问是否存在正整数p，q(其中1

4、1，所以，数列{an}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，an=n－1．（3）解法1：假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，于是，．时，<0，故数列{}()为递减数列，时，<0，故数列{}()为递减数列，，，即时，又当时，，故无正整数q使得成立．解法2：同上有，，且数列{}()为递减数列，当时，成立；当时，，因此，由得，，此时【注】在利用“范围”控制正整数的值时，常用求值域的方法：单调性．本例蕴含分类讨论思想．探究二：探究2.1等

5、差数列的前项和为．（1）求数列的通项与前项和；（2）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【解】（1）由已知得，，故．（2）由（1）得．假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则．即．，．与矛盾．所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列．【注】在反证法中利用有理数性质产生矛盾．探究2.2已知数列满足：，，数列满足：．（1）求数列，的通项公式；（2）证明：数列中的任意三项不可能成等差数列．【解】（1）由题意可知，令　，则　又，则数列是首项为，公比为的等比数列，即，故，又，故，．（2

6、）假设数列存在三项按某种顺序成等差数列，由于数列是首项为，公比为的等比数列，于是有，则只有可能有成立，即即：由于，所以上式左边为偶数，右边为奇数，故上式不可能成立，导致矛盾．因此数列中任意三项不可能成等差数列．【注】此题为上例的补充，方法上有区别，在不便利用范围寻找矛盾时，如何考虑式子的变形呢？首先考虑将分数整数化，然后利用奇偶性寻找矛盾．探究2.3已知各项均为正数的等比数列的公比为，且.（1）在数列中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；【解】由知，数列是递减数列，假设存在成等差数列，不妨设，

7、则，即即，而，，故矛盾．因此在数列中不存在三项成等差数列．【注】常用反证法说明不定方程正整数解不存在．三、真题链接（2009年江苏高考题）设是公差不为零的等差数列，为其前项和，且．（1）求数列的通项公式及前项和；（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项．【解】（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,所以的通项公式为，前n项和．(2)=，若其是中的项，则，令，则=,即：所以为8的约数．因为是奇数，所以可取的值为，当，即时，；当，即时，（舍去）．所以满足条件的正整数．【注】不仅可

8、以利用整除性质解决，也可利用奇偶性分析．四、反思提升数列中的一类存在性问题不定方程的正整数解问题存在有（正整数）解不存在无（正整数）解（1）整除性（2）奇偶性（3）范围（1）范围（2）奇偶性（3）有理数性质五、反馈检测1.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，数列{an2}的前n项和为Tn，满足a1=1，．（1）求p的值及数列{an}的通项公式；（2）①问是否存在正整数n，m，k（n