数列中的存在性问题研究

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1、数列中的存在性问题研究数列是高中数学中的一个重耍的内容，也是近儿年高考的一个热点内容•一方面考察的是数列的基本内容，包括理解等差、等比数列的概念并能利用定义证明，掌握等差、等比数列的通项公式及前n项和公式；另一方面主要考察分析、探究及逻辑推理的能力，主要是一些探索性结论的证明及数列不等式•本文就其屮的一类一一存在性问题进行分析研究，旨在探索解题规律，揭示解题方法.数列中存在性问题通常是给出一个结论，然后让我们來探究是否存在，若存在则求出结果，不存在则说明理由•这类问题的基本解题方法是反证法，其格式为先假设命题结论屮的数学对象存在，在这个前提下根据已有的条件、定理、性质、公理等进行推理和计算

2、•若得出矛盾，则说明假设不成立，这样的数学对象不存在，若存在则可以解出需要的结果•解该类问题对学生的逻辑推理能力和综合数学索养要求较高•下面结合具体实例，来分析存在性问题证明中的若干方法.一、利用数的奇偶性证明存在性例1已知数列｛an｝的前n项和为Sn,且满足an+Sn=2.(1)求数列｛an｝的通项公式；(2)求证：数列bn｝中不存在任意三项按原來顺序排列后成等差数列.解析：(1)已知an与Sn的关系式求数列｛an｝的通项公式，是学生熟练的题型,容易求出an=12n-l.(2)假设存在｛an｝屮的任意三项ap,aq,ar(p

3、2p-l+12f-1,即22-q二21-p+21r,所以等式的左边为奇数，右边为偶数，等式不成立.所以数列｛an｝中不存在任意三项按原來顺序排列后成等差数列.说明：该题主要是根据等式“22-q=21-p+21-r”说明这样的p,q,r是否存在，直接求出是不可能的，所以根据这3项都以2为底，利用奇数、偶数不可能相等的事实，将表达式转换到2r-q+l=2r-p+l来处理.二、利用数为正整数求解存在性例2已知数列｛an｝是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项的和，且满足a2n=S2n-l,令bn=lan?an+l,数列｛bn｝的前n项和为Tn.(1)求数列｛an｝的通项公式及数列｛bn｝的前n

4、项和Tn；(2)是否存在正整数hi,n(l

5、t$5)成等差数列？若存在，指出符合题意的m的个数；若不存在,请说明理由.所以存在符合题意的m共9个.说明：这题与例2的基木思想是一样的，将t用ni来表示，根据字母t的特征“tGN*,t$5”,所以m-5必须能被36整除本题中得到t=7+36m-5是关键，然后利用整除性即可解决.三、利用基本不等式证明存在性例4已知数列｛an｝的首项al二35,an+1二3an2an+l(nEN*)・(1)求证：数列｛lan-1｝为等比数列；(2)是否存在互不相等的正整数m,s,n,使得m,s,n成等差数列且am-],as-1,an-1成等比数列？如果存在，请给出证明;若不存在,请说明理由.解析：(1)易证

6、lan-1是以23为首项，13为公比的等比数列.(2)由(1)可以求出an=3n3n+2,所以an_l=_23n+2.假设存在互不相等的正整数m,s,n,使得m,s,n成等差数列，且am-1,as~l,an~l成等比数列，而m,n,s为互不相等的正整数，所以等号不成立.所以不存在这样的正整数m,s,n符合条件.说明：该题主要根据基本不等式的“一正、二定、三相等”，山于2s=m+n,所以利用基本不等式当口仅当m=n时等号成立的解题思路，学生上手也比较容易.四、利用函数思想求解存在性例5设各项均为正数的数列｛an｝的前n项和为Sn,已知2a2=al+a3,数列｛Sn｝是公差为d的等差数列.(1

7、)求数列｛an｝的通项公式(用n,d表示)；(2)是否存在常数c,对满足m+n=3k且mHn的任意正整数m,n,k,不等式Sm+Sn>cSk都成立•若存在，请求出c的取值范围；不存在，则说明理由.解析：(1)由题意可求出al二d及Sn=al+(n-1)d,得d>0,Sn=n2d2.(2)假设存在c使得Sm+Sn>cSk成立，则m2d2+n2d2>ck2,说明：这题在得出c92,从而得到c的取值范围.通过以上例题中出现的存