专题67：等差数列中前项和的最值问题的研究与拓展

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1、专题6.7：等差数列中前〃项和的最值问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：设等差数列｛色｝的前〃项和为S“,已知dvO,a3=7,S12>0,S]3<0.(1)求公差d的取值范围；(2)求S

2、,S2，S3，・・・S

3、3中的最大值.变式1：等差数列｛%｝的前〃项和为S”，d<0,若S9=S23,则前多少项的和最大？变式2：若把条件改为USIO=S23,J,有类似的结论吗？变式3：—般地，若⑷>0,d<0,Sp=S(｛,则前多少项的和最大？变式4：若｛%｝是等差数列，且a,>0,dvO,S产Sq、求证：5円=0；法1:基本量法

4、证明法2：图熟由Sp=S(「可得图象关于兀=2尹对称，故S°=S“+Q=O法3：由Sp—Sq=0可得：C»i+Clq+2=0,即得马+勺冲=0,易得证.变式5：探究5的逆命题是否成立？即若｛a”｝是等差数列，且q〉0,〃<0,且Sp+q=0,则Sp=Sq成立吗？为什么？拓展1：已知｛色｝为等差数列，若^<-1,且它的前〃项和S〃有最大值，那么当S”取得最小正值时，4()n=.19拓展2：等差数列｛%｝的前斤项和S〃满足：516>0,SI7<0,则当n=_时，S”最大.8拓展3：在等差数列｛%｝中，公差d>0,tz2011

5、x如12是方程，一3兀一5=0的两个根.S”是数列⑺”｝的前〃项和，那么满足条件S”v()的最大自然数九=4021拓展4：已知数列｛%｝为公比为g的等比数列，其前斤项之积为人，且1>0,血二L1的最大正整数/1=100；探究2：设S”是各项均为非零实数的数列仏」的前n项和，给出如下两个命题：命题―仏｝是等差数列；命题「等式丄十丄+…+―!—=也凹对任意n（nwN*）恒成a®2a2a3色％+】立，其中

6、R"是常数.（1）若"是g的充分条件，求的值;（2）对于（1）中的£与b,问〃是否为g的必要条件，请说明理由;⑶若卩为真命题，对于给定的正整数n（n>l）和正数M,数列仏｝满足条件圧+此山旳，试求S”的最大值.解：（1）设｛色｝的公差为d,当〃工0时原等式可化为111111+++aa2a2San色+1丿kn+b1ndkn+b，所以=“°1°川+1QiGi+i即（k—l）n+b=0对于〃wN划亘成立，所以k=l,h=0.⑵当k=b=O时假设命题成立，即“若丄+丄+当d=0时，也成立H=—-—①对于任意的n（ngN*Q如

7、4色+1恒成立，则｛陽｝为等差数列”.丄二丄显然成立111+++——a}a2a2a3an^—=巳丄②，由①■②得,an4%nn-l14i+lan丿,即％j_(n_l)%+i=q③.当n=2时，a｝+a3=2a2,即％、a?、色成等差数列,当〃23时，（并一1）%1-（〃-2）a”=d］④，即=q_i+q“+i.所以｛色｝为等差数列，即卩为q的必要条件.乃+1⑶由彳可设al=rcos0.att+x=rsin0,所以r

8、厂sin&—厂cos。厂(a】+ci)n(/?+l)cos^+(/7-l)sin^所以=rsin0,Sn=-=rnr+/«ri22•Va7=—^w(7+i),所以s〃的最大值为2拓展1：设数列4卫2，，色，中的每一项都不为0.证明：｛%｝为等差数列的充分必要条件是：对任何都有1F拓展2：已知｛$｝是等差数列，对于给定的正整数加，斤+比屮=

9、,则切心1十十b2m十％加+1的最大值为瓦+1)2拓展3：在正项数列｛匕｝中，令S〃=(1)若｛色｝是首项为25,公差为2的等差数列，求5100;np若S”=l"—(0为正常数)对正整

10、数/恒成立，求证｛%｝为等差数列;“+如(3)给定正整数k，正实数M，对于满足a；+心＜M的所有等差数列仏｝,求厂=%+1+%+2色如的最大值・解：(1)由题意得'五hr下•所以治姮虫(2)证:令〃=1,厂〃—=厂]]—，则p=1“I+“2“I+“2”1nnE所以'"詔莎百=庞+Q⑴凡产衿両+总「佝+«(小巾(2),⑵一⑴，力+2(舁+1)扬+7^化简得(/?+l)6/z?+1-nan_^2=a}(n>1)(3)(n+2)an+2-(n+l)aH+3=(n>1)(4),(4)—(3)得an+1+an^3=2an+2(n>

11、l)在（3）中令n=1,得4+@=2^2,从而｛色｝为等差数列（3）i己/=<2知1，公差为d,则卩=aM4-ak+2+•••+色知i二伙+1）'+d丄（"邑）2+丄⑷-3⑷2亠（,+塑）2厶丄）2则肚伙+1）顾，当且仅当102101025£+12【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么?