专题31 导数中极值和最值问题的研究与拓展.doc

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1、专题3.1：导数中极值和最值问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：已知函数/(X)=X’+4兀2+在x=1处有极值10,贝ija+b=.-7变式1：已知函数f(x)=x4+ax当0va<2时，才⑴在[1,4]上的最小值为—乎，求/(X)在该区间上的最大值.+2x2+b,其中a,bwR・若函数/(x)仅在兀=0处有极值，则d的QQ"取值范围是・一一，一331d9变式2：已知函数f(x)=-x4-6x2+cx+d既有极大值又有极小值，实数c的取值范围是.4[-16,16]首先转化为导函数(三次函数)至少有两个互异实数根极小值小于

2、等于0小于等于极大值变式3：若兀=1是定义在R上的函数.几0极小值点,且.厂(x)=(x・1)(x5x+2),则a的取值范围为.a<3变式4：设函数/(x)=(x-2)2(x+/?X，若x=2是/(X)的一个极大值点，则实数〃的取值范围为b<-2变式5：下列关于函数f(x)=(2x-x2)ex的判断正确的是.%1/(a)>0的解集是(0,2)；②/(-V2)是极小值，/(血)是极大值；③/(兀)没有最小值，也没有最大值.变式6：对于函数f(x)=x3+ax2-x+的极值情况，4位同学有下列说法：甲：该函数必有2个极值；乙

3、：该函数的极大值必大于1丙：该函数的极小值必小于1；T：方程fM=0一定有3个不等的实数根这四种说法中，正确的个数为3只有丁错误亠1.19探究2：设/(兀)=——x'+—x~+lax32(12、(1)若函数在-丄，土上单调递增，求实数。的取值范围；I23丿(2、1(2)若函数在一,+oo上存在单调递增区间，求实数Q的取值范围；a〉-一U丿912,解：(2)/(x)在(一,+oo)上存在单调递增区间，即存在某个子区间(m,/z)o(—,+oo)使得/(x)>0.由1122fx)=-x2+x+2a=-(x——)2+—+2d,

4、fx)在区间［―,+s)上单调递减，则只需f(-)〉0即由233221厂(_)=_+24>0解得°>——,39912所以，当a>——时，/(X)在(一,+00)上存在单调递增区间.93(3)令f(x)=0,得两根“=匕上竺，兀2=上土竺所以f(x)在(-00,X］),(x2,+00)上单调递减，在(X］,兀2)上单调递增当0

5、/=1,兀2=2,从而f(x)在［1,4］上的最大值为f(2)=—.变式：设函数/"(X)=lnx+x'-2ax+a',dw/?,(1)若d=0,求函数/⑴在［1,可上的最小值；(2)若函数/(无)在-,2上存在单调递增区间，求实数d的取值范围；(3)求函数/⑴的极值点.解：(1)/(X)罰"119(2)使r(x)>0在-,2上有解，得a<-(3)当a^2时，x=是函数的极大值点，x=a^-1—2-是函数的极小值点.22探究3：已知me/?,/(x)=x3-3(m+l)x2+12/n

6、x+1.(1)若于(兀)在区间(0,3)上无极值点，求实数加的值.1(1)若存在x°w(0,3),使得/g)是/⑴在［0,3］上的最值,求实数加的取值范围.m<-或加,探究4：设函数.心尸亦+巩用旳有且仅有两个极值点X1,X2(x1

7、l・列表：evX(・8,1)1(1，+8)g'(x)+0-g(x)/g(X)max=-e4分此外注意到：当x<0时，g(x)<0；当xe［0,1］及x£(l,+00)时,g(x)的取值范围分别为［0,丄］和(0,-).ee于是题设等价于0<-丄故实数a的取值范围为(4,•…•…6分2ae22(2)存在实数a满足题设.证明如下：由(1)知,0

8、)=2ar］+e'=0,Y2evi12故/(xi)=ax；+eA

9、=evex,=e又.厂(0)>0,广(1)0,.厂(2)>0,而x)=-e(0,1),x(,

10、故ev,-e3=0.2X]2er1-—记/?(x)=ev-e3(0