利用导数研究函数的极值和最值问题

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1、-利用导数研究函数的极值和最值问题１．利用导数研究函数的极值的一般步骤：（１）确定函数的定义域．（２）求f(x)．（３）①若求极值，则先求方程f(x)0的全部实根，再检验f(x)在方程根的左右两侧值的符号，求出极值．（当根中有参数时，要注意讨论根是否在定义域内）②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0的根的大小或存在情况，从而求解．２．求连续函数yf(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤：（１）求函数yf(x)在a,b内的极值；（２）将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.例1.(20

2、18北京,18,13分)设函数f(x)ax24a1x4a3ex.(1)若曲线yf(x)在点1,f1处的切线与x轴平行,求a;(2)若f(x)在x2处取得极小值,求a的取值范围.解析(1)因为f(x)ax24a1x4a3ex,所以f(x)ax22a1x2ex，f(1)1ae.由题设知f'(1)=0,即1ae0,解得a1.此时f(1)3e0.所以a的值为1.(2)由(1)得f(x)ax22a1x2exax1x2ex.若a1,则当x1时f(x)0;2,2a当x2,时,f(x)0.所以f(x)在x2处取得极小值.若a1,则x0,2时,x20,ax11x10,所以f(x)0,

3、22所以2不是f(x)的极小值点.--1综上可知,a的取值范围是，。2方法总结：函数极值问题的常见类型及解题策略(1)已知导函数图象判断函数极值的情况.先找导数为0的点,再判断导数为0的点的左、右两侧导数的符号.--(2)已知函数求极值.求f'(x)→求方程f'(x)=0的根→列表检验f'(x)在f'(x)=0的--根的附近两侧的符号→下结论(3)已知极值求参数.若函数.f(x)在点(x0,y0)处取得极值,则f'(x0)=0,且在该点左、右--两侧导数值的符号相反.--例2.(2017北京,19,13分)已知函数f(x)

4、excosxx.--(1)求曲线yf(x)在点0,f(0)处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间0,上的最大值和最小值.2解析本题考查导数的几何意义,考查利用导数研究函数的单调性、最值.(1)因为f(x)excosxx,所以f(x)excosxsinx1,f(0)0.又因为f(0)1,所以曲线yf(x)在点0,f(0)处的切线方程为y1.(2)设h(x)excosxsinx1,hxexxxxxxx.则e()cossinsincos2sin当x0,时,h(x)0,所以h(x)在区间0,上单调递减.22所以对任意x0,有h(x)h(0)0,即f(x)0.2所以函数f

5、(x)在区间0,上单调递减.2因此f(x)在区间0,上的最大值为f(0)1,最小值为f2.--22解题思路：(1)先求导,再利用导数的几何意义求出切线的斜率,最后利用点斜式求出切线方程。(2)设h(x)excosxsinx1,对h(x)求导,进而确定h(x)的单调性,最后求出最值.--方法总结1.求切线方程问题:(1)根据导数的几何意义求出指定点处的导数值,即切线的斜率;(2)求出指定点处的函数值;(3)求出切线方程.2.利用导数研究函数的单调性:(1)求出函数f(x)的定义域;(2)求出函数f(x)的导函数f(x);(3)令f(x)0得到f(x)在定义域内的单调递

6、增区间；令f(x)0得到f(x)在定义域内的单调递减区间.例3.(2014北京,18,13分,0.52)已知函数f(x)xcosxsinx,x0,.2(1)求证:f(x)0;sinxb，对x0,恒成立,求a的最大值与b的最小值.(2)若ax2解析(1)由f(x)xcosxsinx得f(x)cosxxsinxcosxxsinx.因为在区间0,上f(x)xsinx0,所以f(x)在区间0,上单调递减.22从而f(x)f(0)0.(2)当x0时,“sinxa”等价于“sinxax0”,“sinxb”等价于xx“sinxbx0”.令g(x)sinxcx,则g(x)cosxc

7、.当c0时,g(x)0对任意x0,恒成立.2当c1时,因为对任意x0,,g(x)cosxc0,2所以g(x)在区间0，上单调递减.从而g(x)g(0)0对任意x0,恒成22立.--当0c1时,存在唯一的x00,使得g(x0)cosx0c0.--2--g(x)与g(x)在区间0,上的情况如下:2x0,x0x0x0,2g(x)+0-g(x)↗↘因为g(x)在区间0,x0上是增函数,所以g(x0)g(0)0.进一步,“g(x)0对任意x0,恒成立”当且仅当g1c0,即02c.222综上所述,当且仅当02时,g(x)0对任意x0,恒成立;当且仅当c1时,2g(x)0对任