利用导数研究函数的极值和最值

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1、考点3利用导数研究函数的极值和最值1.（15盐城市盐都区时杨中学届高三上学期1月调考）已知函数在时取得最小值，则_______.【考点】导数的概念及应用，不等式的解法及应用.【答案】36【分析】∵函数在时取得最小值，∴得必定是函数的极值点，∴，∵，∴.2．(江苏省淮安市淮阴区南陈集中学2015届高三上学期10月调考数学试卷)设常数a≥0，函数(1)令，，求g(x)的最小值，并比较g(x)的最小值与0的大小；(2)求证：f(x)在上是增函数；(3)求证：当时，恒有.【考点】复合函数的单调性，函数的最值及其几

2、何意义，函数恒成立问题，简单复合函数的导数，利用导数研究函数的单调性.【解】(1)∵，∴，∴，∴，令列表如下：x2－0+递减极小值递增∴在处取得极小值，即的最小值为∵，∴，又a≥0，∴.证明(2)由(1)知，的最小值是正数，∴对一切，恒有从而当x＞0时，恒有,故在上是增函数证明(3)由(2)知：在上是增函数，∴当x＞1时，又∴，即∴，故当时，恒有.3．（2015江苏省南京市高三考前综合）已知函数，，其中e是自然对数的底数．（1）求函数f(x)的极值；（2）求函数h(x)＝f(x)＋e∣g(x)－a∣(a为

3、常数)的单调区间；【考点】考查了导数的运用､分类讨论思想､函数的零点等相关知识．【解】（1）因为，所以当x＞0时，；当x＜0时，．因此f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以f(x)有极小值为f(0)＝－1，无极大值．（2）．当x≥时，，恒成立，h(x)在(，＋∞)上单调递增，当0＜x≤时，，，＞0恒成立．所以在(0，]上单调递增，注意到．因此当a≤0时，≤0恒成立．当a＞0时，当x∈(0，1)时，＜0；当x∈[1，]时，≥0．综上有：当a≤0时，h(x)减区间为(0，]，增区间为

4、(，＋∞)．当a＞0时，h(x)减区间为(0，1)，增区间为[1，＋∞)．4．（15江苏模拟（三））已知函数满足，当x∈(0，2)时，，当时，的最大值为-4．（1）求实数a的值；（2）设b≠0，函数，．若对任意，总存在，使，求实数b的取值范围．【解】（1）当x∈(0，2)时，，由条件，当x-4∈(-4，-2)，的最大值为-4，∴的最大值为-1．∵，令，得．∵，∴．当x∈(0，)时，，是增函数；当x∈(，2)时，；是减函数．则当x=时，取得最大值为．∴a=-1．（2）依题意，设在x∈（1，2）的值域为A，在

5、x∈（1，2）的值域为B，则AB．∵在x∈（1，2）上是减函数，∴A=．，∵x∈（1，2），∴∈（0，3）．①b>0时，>0，g(x)是增函数，B=．∴．．②b<0时，<0，g(x)是减函数，B=．∴．．由①，②知，，或．5．（15连云港赣榆海头9月调研）已知函数f（x）=a－lnx（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若在区间[1，e]上，函数y=f（x）的图象恒在直线y=1的上方，求a的取值范围；（3）设g（x）=－2bx+1，当a=时，若对于任意的∈[1，e]，总存在∈（0，1]，使得≥成立

6、，求b的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【解】（1）x＞0，.（1分）若a≤0，则＜0恒成立，∴f（x）的减区间为（0，+∞）．（2分）若a＞0，令=0，得（舍去）．当时，＜0，∴f（x）的减区间为；当时，＞0，∴f（x）的增区间为．（4分）（2）由题意，对于任意的x∈[1，e]，恒成立，即对于任意的x∈[1，e]恒成立．令，x∈[1，e]则在x∈（1，e）上恒成立．（6分）而h（x）在[1，e]上图象不间断，∴h（x）在[1，e]上是单调减函数，∴h（x）在[1，

7、e]上的最大值为h（1）=1，则，因此a＞2.（8分）（3）∵对任意的∈[1，e]，存在∈（0，1]，使得≥，∴存在∈（0，1]，使得≤．当时，，，令=0，得（舍去）．列表如下：x－0+f（x）↘极小值↗∵f（x）在[1，e]上图象不间断，∴f（x）在[1，e]上的最小值．…（11分）∴存在∈（0，1]，使得，即只要．令，x∈（0,1）则，令=0，得（舍去）．列表如下：x－0+↘极小值↗∵在（0，1]上图象不间断，∴在（0，1]上的最小值．…（15分）∴，即．…（16分）6．(江苏省南通市2015届高三第

8、一次模拟考试数学试题)若函数y=f(x)在处取得极大值或极小值，则称为函数y=f(x)的极值点.已知函数.(1)当a=0时，求y=f(x)的极值；(2)若y=f(x)在区间上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围.【考点】导数性质的综合应用.【解】(1)当a=0时，的定义域为(0，+∞)，，故在上是减函数，在上是增函数；故f(x)在x=时取得极小值；(2)函数的定义域为(0，+∞)，，令，则，当a＞0时，＞0在(0，+∞)恒成