利用导数研究函数的极值与最值问题.doc

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1、利用导数研究函数的极值和最值问题1.利用导数研究函数的极值的一般步骤:(1)确定函数的定义域.(3)①若求极值，则先求方程fx)=0的全部实根，再检验.广(力在方程根的左右两侧值的符号，求出极值.(当根中有参数时，要注意讨论根是否在定义域内)②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程=0的根的大小或存在情况,从而求解.2・求连续函数y=/(x)在［c“］上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数y=/(x)在(o,Z?)内的极值；(2)将函数y=/(x)的各极值与端点处的函数值/(d),/(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.例1.(2018北京，18,13分

2、)设函数/(x)=-(4d+l)x+4d+3”.⑴若曲线丁=/(x)在点(1,/(1))处的切线与x轴平行，求d;⑵若/(%)在x=2处取得极小值，求a的取值范围.解析(1)因为/(x)=b.*-(4d+l)x+4G+3”',所以fr(x)=ajc-(2a+1)兀+2*,/'⑴=(1一a)e.由题设知f'(1)=0,即(l-tz>=0,解得d=l.此时/(I)=3wH0•所以Q的值为1.(2)由(1)得ff(x)=ajc-(2a+l)x+2*'=(ax-l)(x-2”l1(1A若a〉一，则当xw-,2时f(x)<0;2I。丿当xw(2,+oo)时，f(x)>0.所以/(x)

3、在x=2处取得极小值.若a<—，则xw(0,2)时，x—2<0,cix—1a*—1<0,所以/'(X)>0,所以2不是/(无)的极小值点.方法总结：函数极值问题的常见类型及解题策略(1)已知导函数图象判断函数极值的情况•先找导数为0的点,再判断导数为0的点的左、右两侧导数的符号.(2)已知函数求极值.求f'(x)->求方程f'(x)=0的根〜列表检验f'(x)在f'(x)=0的根的附近两侧的符号-下结论.(3)已知极值求参数•若函数f(x)在点(xO,yO)处取得极值，则f'(xO)=O,且在该点左、右两侧导数值的符号相反.例2.(2017北京，19,13分)已知函数f(x)=

4、exCOSX-x.⑴求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；7T(2)求函数/(劝在区间上的最大值和最小值.2解析本题考查导数的几何意义,考查利用导数研究函数的单调性、最值.(1)因为f(x)=excosx-x,所以ff(x)=ex(cosx-sinx)-l,ff(0)=0.又因为/(O)=1,所以曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程为y=.⑵设h(x)=ex(cosx-sinx)-1,当兀W/,£时，hx)<0,所以处o在区间0冷L2JL2J则Az(x)=ex(cosx一sinx—sinx-cosx)=-2exsinx•上单调递减.TT所以对任

5、意兀w0,—有h(x)

6、定义域;(2)求出函数/(%)的导函数广(尤);⑶令广(尢)>0得到/(%)在定义域内的单调递增区间；令fx)<0得到/(x)在定义域内的单调递减区间.例3.(2014北京,18,13分,0.52)已知函数=xcosx-sinx,冷］⑴求证：/(%)<0;sinX(兀、(2)若—vb,对xw0,-恒成立，求d的最大值与b的最小值・兀I2丿解析(1)由/(x)=xcosx-sinx得/'(尢)=cosx-xsin尢一cosjc=-xsinx・TTTT因为在区间0,-±r(x)=-xsinx<0,所以/(尤)在区间0,-上单调递减.<2丿L2.从而/(x)

7、cjnx(2)当x〉0时，“—>a”等价于“sinr—仮〉0”,“一0对任意XG0,—恒成立.2丿(兀、当ell时，因为对任意0,—,g'(x)=cosx-c<0,2丿7T所以g(x)在区间0,-77上单调递减.从而g(x)vg(0)=0对任意xw0,-恒成I2丿立・TT当0VCV1时，存在唯一的0,—使得gz(x0)=cosx0-c=0.<2丿TTg(x)与