利用导数研究函数的极值、最值 (1).doc

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1、第2课时　利用导数研究函数的极值、最值一、选择题1.(2016·四川卷)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　　)A.－4B.－2C.4D.2解析　f′(x)＝3x2－12，∴x<－2时，f′(x)>0，－22时，f′(x)>0，∴x＝2是f(x)的极小值点.答案　D2.函数f(x)＝x2－lnx的最小值为(　　)A.B.1C.0D.不存在解析　f′(x)＝x－＝，且x>0.令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得0

2、是最小值，且f(1)＝－ln1＝.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)随x的变化情况如下表：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)－ek－1所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞).(2)当k－1≤0，即k≤1时，f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k；当0

3、值为f(k－1)＝－ek－1；当k－1≥1，即k≥2时，f(x)在[0，1]上单调递减，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.综上，当k≤1时，f(x)在[0，1]上的最小值为f(0)＝－k；当10，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，若t＝ab，则t的最大值为(　　)A.2B.3C.6

4、D.9解析　f′(x)＝12x2－2ax－2b，则f′(1)＝12－2a－2b＝0，则a＋b＝6，又a>0，b>0，则t＝ab≤＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号.答案　D12.(2017·长沙调研)若函数f(x)＝x3＋x2－在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是(　　)A.[－5，0)B.(－5，0)C.[－3，0)D.(－3，0)解析　由题意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示.令x3＋x2－＝－

5、得，x＝0或x＝－3，则结合图象可知，解得a∈[－3，0)，故选C.答案　C13.函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是________.解析　令f′(x)＝3x2－3a＝0，得x＝±，则f(x)，f′(x)随x的变化情况如下表：x(－∞，－)－(－，)(，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值从而解得所以f(x)的单调递减区间是(－1，1).答案　(－1，1)14.(2017·济南模拟)设函数f(x)＝ln(x＋a)＋x2.(1)若当x＝－1时，

6、f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于ln.解　(1)f′(x)＝＋2x，依题意，有f′(－1)＝0，故a＝.从而f′(x)＝，且f(x)的定义域为，当－0；当－1－时，f′(x)>0.∴f(x)在区间，上单调递增，在上单调递减.(2)f(x)的定义域为(－a，＋∞)，f′(x)＝.方程2x2＋2ax＋1＝0的判别式Δ＝4a2－8，①若Δ≤0，即－≤a≤时，f′(x)≥0，故f(

7、x)无极值.②若Δ>0，即a<－或a>，则2x2＋2ax＋1＝0有两个不同的实根，x1＝，x2＝.当a<－时，x1<－a，x2<－a，故f′(x)>0在定义域上恒成立，故f(x)无极值.当a>时，－a

8、n(－x2)＋ln(－x1)＋(x＋x)＝ln(x1x2)＋(x1＋x2)2－2x1x2＝ln＋a2－1>ln＋()2－1＝ln.