专题622：条件型等差（等比）数列问题的研究与拓展

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1、专题6.22：条件型等差(等比)数列问题的研究与拓展【探究拓展】2探究1：已知数列a｝和仇｝满足：q=2,〜+严刁色+斤一4,bn=(-ira—3舁+21),其中久为实数，n为正整数.(1)对任意实数久，证明数列｛©｝不是等比数列；(2)试判断数列｛$｝是否为等比数列，并证明你的结论；(3)设0

2、等比数列.2?2(2)解：因为b“+i=(・l严[art+r3(n-l)4-21]=(-1),,+1(—an-2n+14)=—(-1)n-(an-3n+21)=-—bn333又/?

3、X-(A+18),所以当入=—18,此时｛bn｝不是等比数列：b?当入工一18时,切=(入+18)工0,由上可知仇工0,・・・一2±L=一一(Z?GN+).bn32故当X#=-18时，数列｛bn｝是以一(入+18)为首项，一一为公比的等比数列.3(3)由(2)知，当入二・1&仇=0,S”=0,不满足题目要求.23T2~AX=#-18,故知仇=・(入+18)・(一一)"」，于是可得5z,=--

4、(A+18)・1—(一土)”.353■■32要使XS齐b对任意正整数川成立,即a<—(X+18)・[1一(--)"]

5、a+i8)<一1一(一兰)”51一(一勻"33①2令口)=1则当八为正奇数时，1

6、;当伪正偶数时,-—b—18=-3a-S,不存在实数满足题目要求；当Q3g存在实数入，使得对任意正整数斤,都有且入的取值范围是（一匸1&・3/18）.

7、探究2：已知数列｛伽｝的前几项和为S“，且满足：a=a（t?0）,+1=rSn（;?gNrG/?,r^-l）（1）求数列｛/｝的通项公式；（2）若存在kwN使得S&+i,S&,S&+2成等差数列，试判断：对于任意的meN*,弘+】,g伽卄2是否成等差数列，并证明你的结论.解：（1）由已知d“+]=可得an+2=rSn+l,两式相减可得色+2一匕由=厂（九一S〃）=ran+l,即a*=（厂+1）%,又a1=ra｝=ra,所以r=0时，数列｛色｝为：a,0,…，0,…；当厂工0,厂工一1时,由已知QH0,所以色工0（nwN»于是由色+2=（厂+1）色屮可得益=r+l（

8、/ieTV*）,:,an+成等比数歹叽•••当n2吋,an=r(r+l),/_2«.综上，数列｛色｝的通项公式为色=色n=.r(r+ir_26Z,72>2⑵对于任意的m^N且皿、2卫沖卫胪a叭2成等差数列，证明如下:当r=0时，由（I）知1,cia.n=1,0,n>2•••对于任意的me/V且m>2,q曲，g,a〃曲成等差数列,当厂工0,厂h—1日寸,若存在keN使得Sz»S“2成等差数列,则S&+]+S&+2=2S&.,••・2Sk+2ak+}+ak+2=2Sk,即％2=一如i，由⑴知，4门的公比r+1=-2,于是对于任意的加wN',且m>2,am+[=-2

9、q”,从而q*=4q“,・4+i+色+2=2%即吋4,4”+2成等差数列，综上，对于任意的加丘“，且rn>Zam^am,am+2成等差数列探究3：设数列仏｝前n项和为S”，%+2⑺为奇数）S”5为偶数）•（1）求知44;⑵设曙％+1,判断数列｛$｝是否为等比数列，并证明你的结论；（3）当八0时，数列｛如_,｝前〃项和为7；,求使7；>2013的最小自然数仏解：(1)a=q+2=/^+2,cij=S9=6t]+i7o=A+A+2=2兄+2,6f4=^+2=2兄+4.⑵心2时，b小=%1+1=S2”+1=S2H-2+a2n-l+U2n+1=+U2n-+%+1=3%i+3=

10、3仇，即心2时，乩=3,又Z?]=q+l=/l+l,方2=色+1=2兄+3,要使数列｛$｝是等比数列，则彳=3,故2=0.所以2=0时，数列他｝是等比数列，兄工0时，数列他｝不是等比数列.（3）由（2）可知兄=0时，数列｛仇｝是等比数列，bn=3",故如-]=仇一1=3心-1,•••7；=l+3i+32+…+3心3”一1—n=3-1T-1•・•a2ll_i=btl-=y-l-^o,37—138-1・•・数列｛盜｝单调递增，又石=7=1083<2013,人=8=3272>2013.・••使7；,>2013的最小自然数n=8.探究4:已知