专题数列推理与证明等差数列等比数列

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1、专题三数列、推理与证明第1讲　等差数列、等比数列自主学习导引真题感悟1．(2012·浙江)设公比为q(q＞0)的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________.解析　利用等比数列的通项公式及前n项和公式求解．解法一　S4＝S2＋a3＋a4＝3a2＋2＋a3＋a4＝3a4＋2，将a3＝a2q，a4＝a2q2代入得，3a2＋2＋a2q＋a2q2＝3a2q2＋2，化简得2q2－q－3＝0，解得q＝(q＝－1不合题意，舍去)．解法二　设等比数列{an}的首项为a1，由S2＝3a2＋2，

2、得a1(1＋q)＝3a1q＋2.①由S4＝3a4＋2，得a1(1＋q)(1＋q2)＝3a1q3＋2.②由②－①得a1q2(1＋q)＝3a1q(q2－1)．∵q＞0，∴q＝.答案　2．(2012·课标全国卷)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝A．7　　　B．5　　　C．－5　　　D．－7解析　解法一　利用等比数列的通项公式求解．由题意得∴或∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.解法二　利用等比数列的性质求解．由解得或∴或∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.答案　D考题分析等差数列与等

3、比数列的基本性质与运算是各地高考考查的热点，突出了通性通法．三种题型都有可能出现，有较容易的低档题，也有与其他知识交汇命题的压轴题．网络构建高频考点突破考点一：等差、等比数列的基本运算【例1】(2012·盘锦模拟)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2，a3＋a4＝32.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝a＋log2an，求数列{bn}的前n项和Sn.[审题导引]　(1)利用所给的条件式求出a1与q，可求an；(2)把数列{bn}分解为一个等差数列与一个等比数列，分组求和．[规范解答]　(1)

4、∵a1＋a2＝2＝2×，a3＋a4＝32＝32×，数列{an}各项均为正数，∴a1a2＝2，a3a4＝32，∴q4＝＝16，∴q＝2，又a1a2＝a1·a1q＝2，∴a1＝1，∴an＝a1qn－1＝2n－1.(2)∵bn＝a＋log2an，∴bn＝4n－1＋(n－1)，∴Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(40＋41＋42＋…＋4n－1)＋(0＋1＋2＋…＋n－1)＝＋.【规律总结】方程思想在等差(比)数列的基本运算中的运用等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a1、d(或q)、n、an与Sn这五个量，如果已知其中的三

5、个，就可以求其余的两个．其中a1和d(或q)是两个基本量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现．[易错提示]　等差(比)数列的基本运算中，容易出现的问题主要有两个方面：一是忽视题中的条件限制，如公差与公比的符号、大小等，导致增解；二是不能灵活利用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量．【变式训练】1．(2012·安徽师大附中模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn，

6、已知a5＝8，S3＝6，则S10－S7的值是A．24　　　　B．36　　　　C．48　　　　D．72解析　∵S3＝3a2＝6，∴a2＝2，又a5＝8，∴3d＝a5－a2＝6，∴d＝2.∴S10－S7＝a8＋a9＋a10＝3a9＝3[a5＋(9－5)d]＝48.答案　C2．(2012·青岛模拟)设等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，前n项和为Sn.若对∀n∈N＋，有S2n＜3Sn，则q的取值范围是A．(0,1]B．(0,2)C．[1,2)D．(0，)解析　当q＝1时，显然有S2n＜3Sn，当q≠1时，∵S2n＜3Sn，即

7、S2n－3Sn＝(qn－2)＜0.∵＞0，∴qn－2＜0恒成立，∴0＜q＜1，故q∈(0,1]．答案　A考点二：等差、等比数列的判定与证明【例2】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：an－2SnSn－1＝0(n≥2，n∈N＋，Sn≠0)，a1＝，判断与{an}是否为等差数列，并说明你的理由．[审题导引]　因为已知关系式中包含an，Sn，Sn－1，所以应根据an与Sn的关系式：an＝Sn－Sn－1(n≥2)将已知条件转化为关于Sn与Sn－1之间的关系，从而判断是否为等差数列，并求出Sn的表达式，然后求出数列{an}的通项

8、公式，并判断其是否为等差数列．[规范解答]　因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，所以由an－2SnSn－1＝0，可得Sn－Sn－1－2SnSn－1＝0(n≥2)，所以－＝2(n≥2)，又因为S1＝a1＝，所以是以2为首项，2为公差的等差数列．所以＝2＋(n－1)×2＝2n，故Sn＝.所以当