专题 等差数列与等比数列

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1、专题4等差数列与等比数列★★★高考在考什么【考题回放】1．设数列｛an｝的首项a1＝－7，且满足an＋1＝an＋2（n∈N），则a1＋a2＋……＋a17＝153.2．设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝(A)（A）（B）（C）（D）3．已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设（），则数列的前10项和等于（　C　）（A）55　　　　（B）70　　　　　（C）85　　　　　（D）1004．在等比数列中，，前项和为，若数列也是等比数列，则等于（C）(A)(B)(C)(D)5.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“

2、基本量”．设{an}是公比为q的无穷等比数列，下列{an}的四组量中：①S1与S2；②a2与S3；③a1与an；④q与an．其中一定能成为该数列“基本量”的是第①④组．(写出所有符合要求的组号)6．设数列{an}的首项，且，记．（I）求a2，a3；（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；（III）（理）求．【专家解答】（I）a2＝a1+=a+，a3=a2=a+；（II）∵a4=a3+=a+，∴a5=a4=a+，所以b1=a1－=a－，b2=a3－=(a－)，b3=a5－=(a－)，《专题4等差数列与等比数列》第116页（共

3、116页）猜想：{bn}是公比为的等比数列．证明如下：因为bn+1＝a2n+1－=a2n－=(a2n－1－)=bn，(n∈N*)所以{bn}是首项为a－，公比为的等比数列·（III）（理）．★★★高考要考什么【考点透视】本专题主要涉及等差（比）数列的定义、通项公式、前n项和及其性质，数列的极限、无穷等比数列的各项和．【热点透析】高考对本专题考查比较全面、深刻，每年都不遗漏．其中小题主要考查间相互关系，呈现“小、巧、活”的特点；大题中往往把等差（比）数列与函数、方程与不等式，解析几何等知识结合，考查基础知识、思想方法的运用，对思维能力要求较

4、高，注重试题的综合性，注意分类讨论．★★★突破重难点【范例1】已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项和为Sn，Sk=2550．(Ⅰ)求a及k的值；(Ⅱ)求(…)．解析（Ⅰ）设该等差数列为｛an｝，则a1=a，a2=4，a3=3a，Sk=2550．由已知得a＋3a=2×4，解得a1=a=2，公差d=a2－a1=2．由得，解得k=50．∴a=2，k=50．（Ⅱ）由得Sn=n(n＋1)，∴，∴．【点睛】错位相减法、裂项相消法等等是常用的数列求和方法．《专题4等差数列与等比数列》第116页（共116页）【文】是等差数列的前n项和，已知的等比中项

5、为，的等差中项为1，求数列的通项．解析由已知得，即，解得或或经验证或均满足题意，即为所求．【点睛】若是等差数列的前n项和，则数列也是等差数列．本题是以此背景设计此题．【范例2】已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an.解析∵10Sn=an2+5an+6，①∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3．又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②由①－②得10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(a

6、n－an－1－5)=0∵an+an－1>0，∴an－an－1=5(n≥2)．当a1=3时，a3=13，a15=73．a1，a3，a15不成等比数列∴a1≠3;当a1=2时，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，∴a1=2，∴an=5n－3．【点睛】求数列的通项公式是数列的基本问题，一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知Sn，求通项，破解方法：利用Sn-Sn-1=an，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明

7、法或构造法。【文】已知等比数列的前项和为，且．（1）求、的值及数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．解析（1）当时，．而为等比数列，得，即，从而．又．（2），《专题4等差数列与等比数列》第116页（共116页）两式相减得，因此，．【范例3】下表给出一个“三角形数阵”：，，，…………已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等．记第i行第j列的数为aij(i≥j，i，j∈N*)．(1)求a83；(2)试写出aij关于i，j的表达式；(3)记第n行的和为An，求解析（1）由题知成等差数列，且，所以公差。又

8、成等比数列，且．又公比都相等，∴每行的公比是．∴．　（2）由（1）知，，∴．　（3）．【点睛】在新颖背景——数表中运用数列知识．【文】在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若Sm，Sm+2，S