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1、焦点专题7等差数列与等比数列【基础盘点】1、一般数列与法:;2、等差数列:①定义:当时,数列为等差数列,可用于等差数列的证明;②通项:=,要明确数列为数列;③前项和:=;④通项性质:若,则,特别地,若是与的等差中项,则;⑤前项和性质:若,则当0时,有最大值;若,则当0时,有最小值;3、等比数列:①定义:当时,数列为等比数列,可用于等比数列的证明;②通项:=,要明确数列为数列;③前项和:,用该公式时特别关注项数的考虑;④通项性质1:若,则,特别地,若是与的等比中项,则;⑤通项性质2:中没有为的项,0;当时,中所有的项号,当时,中相间的项号;4、一般数列通项的求法:
2、①数列:.可用法,求得;②若,,可用法,求得;③若,,可用法,求得;④若,,可用法,求得.【例题精选】焦点1:与法【例1】1、已知数列的前n项之和为,求数列的通项公式.【题情捉摸】(1)当时,;(2)当时,.82、设数列的前项和为,且,则.【题情捉摸】(1)当时,有,从中解得;(2)当时,,化简得,知数列为数列,进而得通项.焦点2:等差数列的通项公式、前项和公式、性质、证明【例2】1、设等差数列的前项和为,若,,求的最小值.【题情捉摸】(法1)由条件得,从而,用配方法可求其最小值;(法2)由条件得,从而,令0,知当时,取得最小值,进而得的最小值.2、设等差数列的
3、前项和为,若,则.【题情捉摸】由,得,从而得结果.3、已知曲线:,数列的首项,且当时,点恒在曲线上,数列满足.(1)证明:数列是等差数列;(2)求数列和的通项公式.【题情捉摸】(1)点在曲线:上,得,要证是等差数列,只证当时,即可,再检验是否也适合这个等差数列便得证明;(2)顺手求得,代入求得.8焦点3:等比数列的通项公式、前项和公式、性质、证明【例3】1、设是由正数组成的等比数列,为其前项和.已知,,求.【题情捉摸】(1)将与代入,得,代入,从而解得,有;(2)由与的值可算得.2、已知数列的前n项之和为,若,则的最大值等于.【题情捉摸】可得,得到后代入再估算即
4、得的最大值.3、已知数列中,,令.(1)证明:数列是等比数列;(2)求数列的通项.【题情捉摸】(1)由,得,两式相减有,将代入得,而,从而得证;(2)由(1)得,代入,再用累加法得.【真题回顾】1、(2010广东文)已知数列{}为等比数列,是它的前n项和,若,且与的等差中项为,则S5=w_ww.k#s5_u.co*mw_w*w.k_s_5u.c*o*mA.35B.33C.31D.292、(2009广东文)已知等比数列的公比为正数,且,,则 A. B. C. D.83、(2009广东理)已知等比数列满足,且,则当时,A.B.C.D.4、(2009广东文)已知
5、点是函数的图像上一点.等比数列的前n项和为.数列的首项为c,且前n项和满足(1)求数列和的通项公式;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(2)若数列的前项和为,问满足＞的最小正整数是多少?【名模精选】5、(2010广州调研文)已知等差数列中,,则数列的前13项之和为A.B.C. D.6、(2010湛江一模理)数列中,,且,则前2010项的和等于A.1005B.2010C.1D.07、(2010深圳二模文)已知等差数列中,,则的值是A.18B.20C.26D.2888、(2010佛山一模文)若数列满足:,其前项和为,则.9、(2010广州一模文)在等比数列中,
6、,公比,若,则的值为.10、(2010广州二模文)如图是一个有层的六边形点阵.它的中心是一个点,算作第一层,第2层每边有2个点,第3层每边有3个点,…,第层每边有个点,则这个点阵的点数共有个.11、(2010广州调研文)设为数列的前项和,对任意的N,都有为常数,且.(1)求证:数列是等比数列;(2)设数列的公比,数列满足,N,求数列的通项公式;12、(2011珠海摸底)已知函数,数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)求;(3)求证:8【参考答案】【例1】1.当时,;当时,,∴.2.当时,有,∴;当时,,得,∴数列是以首项为2,公比为2的等比数列,于是.【例2】
7、1.设该数列的公差为,则,解得,所以,所以当或时,取最小值∴的最小值为.(解法2更为简便,留给读者).2.由,得,有,从而.3.(1)∵当时,点恒在曲线上,∴,由得当时,8,而,,∴数列是首项为,公差为的等差数列;(2)∵＝4,∴,∴,由,得.【例3】1.由得,∴,又,∴,解得或(舍去).得,∴.2.∵,由,得,又单调递增,且,,∴,得.3.(1)证明:由,得,两式相减有,而,∴,又.∴是以2为首项,公比为2的等比数列.(2)解:由(1)得,即,∴==.1.C2.B3.C4.(1),w.w.w,,,,.又数列成等比数列,,所以;又公比,所以,;又,,;8数列构成
8、一个首相为1公差为1的等
