专题三 数列推理与证明 第一讲 等差数列、等比数列

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1、专题三数列、推理与证明第1讲　等差数列、等比数列自主学习导引真题感悟1．(2012·浙江)设公比为q(q＞0)的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________.解析　利用等比数列的通项公式及前n项和公式求解．解法一　S4＝S2＋a3＋a4＝3a2＋2＋a3＋a4＝3a4＋2，将a3＝a2q，a4＝a2q2代入得，3a2＋2＋a2q＋a2q2＝3a2q2＋2，化简得2q2－q－3＝0，解得q＝(q＝－1不合题意，舍去)．解法二　设等比数列{an}的首项为a

2、1，由S2＝3a2＋2，得a1(1＋q)＝3a1q＋2.①由S4＝3a4＋2，得a1(1＋q)(1＋q2)＝3a1q3＋2.②由②－①得a1q2(1＋q)＝3a1q(q2－1)．∵q＞0，∴q＝.答案　2．(2012·课标全国卷)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝A．7　　　B．5　　　C．－5　　　D．－7解析　解法一　利用等比数列的通项公式求解．由题意得∴或∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.解法二　利用等比数列的性质求解．由解得或∴或∴a1＋a10＝a1

3、(1＋q9)＝－7.答案　D考题分析等差数列与等比数列的基本性质与运算是各地高考考查的热点，突出了通性通法．三种题型都有可能出现，有较容易的低档题，也有与其他知识交汇命题的压轴题．网络构建高频考点突破考点一：等差、等比数列的基本运算【例1】(2012·盘锦模拟)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2，a3＋a4＝32.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝a＋log2an，求数列{bn}的前n项和Sn.[审题导引]　(1)利用所给的条件式求出a1与q，可求an；(2)把数列

4、{bn}分解为一个等差数列与一个等比数列，分组求和．[规范解答]　(1)∵a1＋a2＝2＝2×，a3＋a4＝32＝32×，数列{an}各项均为正数，∴a1a2＝2，a3a4＝32，∴q4＝＝16，∴q＝2，又a1a2＝a1·a1q＝2，∴a1＝1，∴an＝a1qn－1＝2n－1.(2)∵bn＝a＋log2an，∴bn＝4n－1＋(n－1)，∴Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(40＋41＋42＋…＋4n－1)＋(0＋1＋2＋…＋n－1)＝＋.【规律总结】方程思想在等差(比)数列的基本运算中的运用等差(

5、比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a1、d(或q)、n、an与Sn这五个量，如果已知其中的三个，就可以求其余的两个．其中a1和d(或q)是两个基本量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现．[易错提示]　等差(比)数列的基本运算中，容易出现的问题主要有两个方面：一是忽视题中的条件限制，如公差与公比的符号、大小等，导致增解；二是不能灵活利用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致

6、列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量．【变式训练】1．(2012·安徽师大附中模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝8，S3＝6，则S10－S7的值是A．24　　　　B．36　　　　C．48　　　　D．72解析　∵S3＝3a2＝6，∴a2＝2，又a5＝8，∴3d＝a5－a2＝6，∴d＝2.∴S10－S7＝a8＋a9＋a10＝3a9＝3[a5＋(9－5)d]＝48.答案　C2．(2012·青岛模拟)设等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，前n项和为Sn.若对∀n∈N＋，有S2n＜3Sn

7、，则q的取值范围是A．(0,1]B．(0,2)C．[1,2)D．(0，)解析　当q＝1时，显然有S2n＜3Sn，当q≠1时，∵S2n＜3Sn，即S2n－3Sn＝(qn－2)＜0.∵＞0，∴qn－2＜0恒成立，∴0＜q＜1，故q∈(0,1]．答案　A考点二：等差、等比数列的判定与证明【例2】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：an－2SnSn－1＝0(n≥2，n∈N＋，Sn≠0)，a1＝，判断与{an}是否为等差数列，并说明你的理由．[审题导引]　因为已知关系式中包含an，Sn，Sn－1，所以应根

8、据an与Sn的关系式：an＝Sn－Sn－1(n≥2)将已知条件转化为关于Sn与Sn－1之间的关系，从而判断是否为等差数列，并求出Sn的表达式，然后求出数列{an}的通项公式，并判断其是否为等差数列．[规范解答]　因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，所以由an－2SnSn－1＝0，可得Sn－Sn－1－2SnSn－1＝0(n≥2)，所以－＝2(n≥2)，又因为S1＝a1＝，所以是以2为首项，2为公差的等差数列．所以＝2＋(n－1)×2＝2n，故Sn＝.所以当