等差、等比数列的综合问题

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1、专题2数列知识网络图解数列递归数列数列求通项数列极限数学归纳法求极限定义原理等比数列无究递缩数列求和等差数列等比数列概念性质证题技巧0≤αn＜≤αn＜12αn，一、数列的概念、性质例①若数到{αn}满足αn+1=若α1=则α2009的值为（）2αn－1，A.B.C.D.②αn=则数列{αn}最大项为（）A.α1B.α45C.α44D.α2007③通项为αn=n2－αn+1的数列{αn}是递增数列，则实数α的取值范围为_________二、等差数列、等比数列知识整合等差数列等比数列定义αn－αn－1=d（d为常数，n≥2，nN·）为常数，n≥2，通项公式αn=α1＋（n－1

2、）d或αn=αm+（n－m）dαnnα1=α1qn-1或αnnα1=αm·qn-m前n项和公式=nα1+(q=1)(q≠1)S=中项2αn=αn－1+αn+1(n≥2)αn2=αn－1·αn+1（n≥2）性等差数列的性质（1）m，n，p，qN，若m＋n=p＋q，则αm＋αn=αp+αq，特别地α1＋αn=α2+αn-1=…（2）αn=αn+b（α，b是常数）是{αn}成等差数列的充要条件，（n，αn）是直线上的一群孤立的点（3）数列{αn}的前n项和Sn=αn2+bn(α≠0)是{αn}等比数列的性质α1＜0或α1＞0(1)m、n、p、qN·，若m＋n=p＋q，则αm·α

3、n=αp·αq，特别地α1αn=α2αn－1=…0＜q＜1q＞1（2）当时，{αm}为递增数列，α1＜0α1＜00＜q＜1q＞1当或时，{αn}为递减数列（3）若{αn}和{bn}均是等比数列，则{αnbn}质成等差数列的充要条件（4）等差数列的单调性d＞0{αn}为递增数列，Sn有最小值。d＜0{αn}为递减数列，Sn有最大值d=0{αn}均是等差数列，则（mαn+kbn）仍为等差数列，m、k为常数（6）等差数列中依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列，公差为k2d（7）项数为偶数2n的等差数列{αn},S2n=n(αn＋αn＋1);项

4、数为奇数2n－1的等差数列{αn},有S2n－1=(2n－1)αn(αn为中间项)且仍为等比数列（4）等比数列中依次k项和成等比数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比数列，其公比为qk（公比q不为－1）（5）等比数列中依次k项积成等比数列，记Tn为前n项积，即Tk，，，…成等比数列，其公比为要点热点探究例1（1）已知两个等差数列{αn}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且=，则使得为整数的正整数n的个数是()A.2B.3C.4D.5（2）已知等差数列{αn}的前n项和为Sn，若OB=α6OA＋α195OC，且A、B、C三点共线（该直线不过点O），则S20

5、0等于（）A.100B.101C.200D.201（3）与差数列{αn}中，S6=36，Sn=324，Sn－6=144，则n=___________（4）等差数列{αn}共有2n＋1次，其中奇数项之和为319，偶数次之和为290则其中间项的值为（）A.α9=10B.α10=16C.α11=29D.α12=39例2等差数列{αn}的前n项和为Sn，α1=1＋，S3=9+（1）求数列{αn}的通项αn，与前n项和Sn；3α1+3d=9+α1=＋1（2）设bn=，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列∴d=2【解析】（1）由已知得故αn=2n－1＋，Sn=n（n

6、＋）（2）证明：由（1）得bn==n＋假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p,q,r互不相等)成等比数列，则=bpbr,q2－pr=0即(q+)2=（p+）（r+），∴（q2－pr）＋（2q－p－r）=02q－p－r=0∵p，q，rN·,∴∴=pr，即（p－r）2=0，∴p=r，这与p≠r矛盾∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列变式已知数列{αn}中，α1=，点（n，2αn+1－αn）在直线y=x上，其中n=1，2，3…（1）令bn=αn+1－αn－1，求证：数列{bn}是等比数列；（2）求数列{αn}的通项；（3）设Sn，Tn分别为数列{αn}，{

7、bn}的前n项和，是否存在实数，使得数列{}为等差数列？若存在，试求出；若不存在，则说明理由。解（1）αn+2－αn+1－1=(αn+1－αn－1)（2）α1=，2α2－α1=1α2=（1＋α1）=α2－α1－1=bn=αn+1－αn-1=·（）n+1αn＋1-αn=1－3()n+1Tn=Sn=∴存在使{}等差例3已知数列{αn}为等差数列，公差d≠0，由{αn}中的部分项组成的数列…，，…为等比数列，其中b1=1，b2=5，b3=17（1）求数列{bn}的通项公式；（2）记Tn=，求Tn解（1）∵∴∴∴又∴∴bn=2.3n-