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《专题612：等差数列若干问题的研究与拓展》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、专题6.12：等差数列若干问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：等差数列的证明问题提升对af1+i-afl=d(常数)本质的认识，只要后项减前项为同一个常数，就能证明数列｛%｝是等差数列.根据条件，判断下列数列是否为等差数列？⑴anU~an=45⑵_J^"=2；⑶=丄+1；(4)lg^+1=lg^+2；(5)2畑=2~+2；(6)翔=务+1；(7)已知数列｛°讣及｛仇｝是两个无穷等差数列，公差分别是％和〃2,求证：｛atl+bn｝成等差数列，并求它的公差.探究2：含绝对值的数列问题设等差数列｛色｝的
2、通项公式为att=34-2n，设数列｛仇｝的每一项都满足仇=闯,求数列0”｝的前〃项和Tn.变式：已知数列｛為｝共有％项(Q2,"N*),数列｛给｝的前n项和为S〃，满足：6/1=2,如=(p_1)S”+2(/?=1,2,2R-1),其中常数p>1.(1)求证：数列仏｝是等比数列；2(2)若p=2W数歹ij｛%｝满足乞=丄log2(%ba』(n=l,2,…，2/c),求数列｛b“｝的通项公式；n3333(3)对于(2)中数列｛/?“｝,求和几=
3、by—1+1$—I++1仇斤一1—1+1$«—I*2
4、2解：(1)Vaw+i=(p-1)S„+2(n=1,2,2R-1),•»an=(p-l)Sn-1+2(7?=2,2k)・则当n=2,2W-1时，两式相减，得给+1—an=(p-1)(S〃一S“_]),即q“+i-an=(p-1)a“・・=panCn=2,2k-1)・原式中，令n=],得a2=(p-1)«i+2=2(p-])+2=2p=pa・=pa,n即虫丄=p(/?=1,2,2R-1)・则数列｛©｝是等比数列.(2)由(1),得an=apn~].=llog2«-/?+2+^1)n[，7-1]
5、n_12=log2(^-p2)=1+—log2p=1+——=1+12R—1（比一1）.（3）・・禺一討+n-2k—2n-2k-l2(2k—1)33・°・当恋k时，btl-—<（）；当庇£+1时，bn-—>（）・3333则Tn=b｛--I+I&2+血-1一寸+1如一寸二（弓一勺）+（舟一仇）++c
6、—俵）+（A+i_"!）++（如-专）=（bk+l4-bk+2++如）一（勺+仇++切zkk+]2—1、z01k_、k2—（1bH）—（1F4）—•2k-]2k-]2k-2k-2k_2k-
7、2k-探究3：三个数或四个数成等差数列问题（1）三个数成等差数列，它们的和是15,它们的平方和等于83,求这三个数.（2）成等差数列的四个数之和为26,第二个数和第三个数之积为40,求这四个数.探究4：等差数列通项的若干性质探究.（1）已知xHy,两个数列和兀‘勺厶厶‘勺』都是等差数列，且公差分别为％和％,求%:〃2•（2）已知｛%｝是等差数列，当m+n=p+qJm,n,p,qeN"）时，是否有4“+色=竹+勺？如果是，请给出证明•并思考能否对该结论作进一步推广？（3）在等差数列｛色｝中，已知。
8、2+%+。]5=12,则％=.探究5：（1）一个等差数列的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27,则公差d=（2）等差数列｛%｝中，前加项（加为奇数）和为77,其中偶数项之和为33,且cix-am=&则数列｛%｝的通项公式为.探究6：(1)已知等差数列｛%｝的前〃项和为S”，首项为⑷，公差为d,贝Ij
9、^j是数列.(2)设S”为等差数列｛©｝的前n项和，已知55=5,S9=27,则S7二.(3)设等差数列｛%｝的前〃项和为S”，若S4>10,S5<15,则偽的最大
10、值为•(4)等差数列｛%｝的前〃项和为S”，首项为®,公差为d,则,S2/,-Sz„53w-52zj<-«成等差数列，公差为.(5)已知各项均为正数的等比数列仏｝的前九项和为S”,且S2(=2S"&贝ijS3,-S2A,的最小值为32解：利用等比数列连续等项的和成等比数列性质可容易得到。探究7：等差数列｛%｝和｛bn｝的前n项的和分别是Sn和Tn,且二=,则乞=Tn3n+1b5s变式1：已知等差数列｛%｝和｛bn｝的前n项的和分别是Sn和T"且—得#为正整数的询个数为—变式2：两个等差数列匕｝和
11、血｝前斤项的和分别为4和耳，且容二竺二Z,若B：〃+3(kwN*)是整数，贝1“二29变式3：设数列｛色｝、｛仇｝是各项均为正数的等比数列，并设｛山陽｝、分别为S“和7；,若®=2,K2/7+1设-=字,则数列｛q｝的通项公式为hncn=4〃应用等差数列和等比数列的互化方法以及结论完成探究8：(1)在一个等差数列中，如果其中有一项为季，那么丄,2,丄能否成为该等差数列的连续三3x+1oxx项？(2)已知由正数组成的无穷等差数列中有3项13,25,41.求证：2009是其中一项.(3
