专题731：卡西尼卵形线的研究与拓展

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1、专题7.31：卡西尼卵形线的研究与拓展【探究拓展】探究1：曲线c是平面内与两个定点片(-1,())和耳(1,())的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C±,则△斤P鬥的面积不大于*夕其中正确命题的序号为背景展示在数学史上，到两个顶点(叫做焦点)的距离之积为常数的点的轨迹成为卡西尼卵形线(CassiniOval),乔凡尼•多美尼科•卡西尼是一位意大利岀生的法国籍天文学家和水利工程师，他是第一个发现土星的四个卫星的人.1675

2、年，他发现土星光环中间有条暗缝，这就后来以他名字命名的卡西尼环缝.他猜测，光环是由无数小颗粒构成，两个多世纪后的分光观测证实了他的猜测。为了纪念卡西尼对土星研究的贡献，当代人类探测土星的探测器“卡西尼号”即以他的名字命名•卡西尼卵形线是1675年他在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.探究2：设两定点为片迅，且

3、好毘

4、=2,动点P满足

5、P£

6、

7、P鬥

8、=/(沦0且为定值)，取直线百鬥作为兀轴，斥鬥的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设P(x,y),则7(x+i)2+y27u-i)2+y2=/整理得:(X2+

9、b)2—2(/—y2)=/一1解得：y2=(-x2-1)+a/4x2+cT(1-€Z0，可讨论如下六种情况：(1)当。=0时，图像变为两个点斤(—1,0)込(1,0)；(2)当0VGV1时，图像分为两支封闭曲线，随着d的减小而分别向点耳，"收缩；(3)当a=l时，图像成8字形自相交叉，称为双纽线；(4)当1

10、一样，但曲线中部变平;(1)当Cl>y[2时，曲线中部凸起。变式1:若将“两定点”之一变为“定直线”，那么距离之比为定值的动点轨迹是什么?变式2:若将“两定点”之一变为“定直线”，那么距离之和为定值的动点轨迹是什么?变式3:到定点的距离与到定直线的距离的鸟倍之和为定值的定点轨迹是什么？变式4：到定点的距离与到定直线的距离之差(的绝对值)为定值的定点轨迹是什么？变式5:到定点的距离与到定直线的距离之积为定值的定点轨迹是什么？拓展1：在平面直角坐标系xOy中，点P到点F(3,0)的距离的4倍与它到直线x=2的距

11、离的3倍之和记为d,当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和(1)求点P的轨迹C；(2)设过点F的直线/与轨迹C相交于M,W两点，求线段MN长度的最大值。解：(1)设点P的坐标为(x,y),则〃=4jd_3)2_y2+3

12、x.2

13、由题设当x>2时，由①得7(x-3)2+y2=6--^,化简得—+^-=1.3627当兀52时由①得J(3+x)2+y2=3+兀,化简得y2=Ux故点p的轨迹c是椭圆G：話+=1在直线x=2的右侧抛物线C2:y2=12x在直线x=2的左侧部分(包括它与直厂/>:(■■*•.丿

14、部分与线x=2的交点)所组成的曲线，参见图1（2）如图2所示，易知直线x=2与G，C2的交点都是A（2,2>/6）,B（2,—2亦），直线AF,BF的斜率分别为kAF=-2yf6,kRF=2V6.当点P在G上时，由②知PF=6-^x.④当点P在C?上时，由③知

15、PF］=3+x⑤若直线1的斜率k存在，贝I］直线1的方程为y=k（x-3）（i）当kAE,或k2/Cbf、即kW・2乔时，直线I与轨迹C的两个交点M（Xj,刃），N（丕，兀）由I/y2得（3+4/）兀2_24疋兀+36/_108=0则旺，刃是这个

16、方程的两根，所以—+—=1（362722IMF

17、=6-1,.1一不

18、NF

19、=6--x222从而丨MN

20、=IMF

21、+

22、NF

23、=（6--X.）+（6■丄x）=12■丄（入+x）22222都在C

24、上，此时由④知y=k（x-3）24k2因为当£52^6,或k>2俪寸,^2>24,2MN=12—-=12-—^—=—.当且仅当k=±2y［6时，等号成立。3+4疋丄—11k2（2）当kAEj6时，直线L与轨迹C的两个交点M（X［,刃）,"（兀2』2）分别在C］，G上，不妨设点M在C］上，点C

25、2±,则④⑤知,MF=6--x^NF=3+兀2设直线AF与椭圆G的另一交点为E（Xo，yo）,贝吹）

26、=6--^<6-丄兀0=

27、£7%

28、“尸

29、=3+兀2<3+2=山日所］^mn=mf

30、+

31、nf

32、v

33、ef

34、+

35、af

36、=

37、A£

38、。而点a,e都在c,±,且4=-2乔，有（1）知

39、肚

40、=晋，所以

41、MN

42、v晋若直线z的斜率不存在，则^=^=3,此时MN=12-丄(西+兀2)=9<型211综上