到两个定点距离积为定值的轨迹 卡西尼卵形线的几何画板作法 常州.doc

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1、到两个定点距离积为定值的轨迹----卡西尼卵形线的几何画板作法常州市第二中学季传军1.问题的提出一次在《圆锥曲线》的高三复习课上，小结了与到两定点距离有关的点的轨迹问题：①动点到两定点距离和为定值，即的轨迹是椭圆；②动点到两定点距离差的绝对值为定值，即的轨迹是双曲线；③动点到两定点距离商为定值，即的轨迹是圆。课堂上很快就有学生提出：到两定点距离积为定值的点的轨迹是什么呢？课前我对这个问题没有思考过，再加上高三复习课时间紧迫，就以“这个问题在中学阶段不作要求”敷衍过去，哪知课后两个学生追着我问：这个轨迹到底是什么？这下我只有“被迫”去研究一下了。2.问题学习研究过程我先在网上查阅了相关资料，了解

2、到到两点距离积为定值的点的轨迹是卡西尼卵形线，如图，可以分成几类图形，其中一个特殊情形（图3）是伯努利双纽线（微分几何一个重要研究图形），就把这些告诉学生，同样会带来很多的“为什么”，那么怎样将这些图形动态直观的展示给学生呢？我想到了几何画板。（1）（2）（3）（4）问题：动点到两定点的距离积为定值，即，，试讨论点的轨迹。作图思路：①首先作可变线段用来控制两焦点的距离（如图通过拖动来改变的距离，下同）；②作可变线段用来控制的值③作可变线段用，以为圆心为半径作圆，计算并记为，以为圆心为半径作圆，设圆，圆的交点为P，显然④选中点构造轨迹曲线。这样通过拖动点，可直观地看到点在轨迹曲线上运动，而拖动或

3、则可以看到曲线形状的改变：做出以上动态图形，应该可以给学生以交待了，但上述图中依然有“为什么”，如上图右图中的两圆是相离的没有交点，哪里来的交点的轨迹呢？实际上两圆是“虚交”的（可简单理解为两圆方程联立方程组的解是虚数），而这对学生来说又是不可想象的，还应再作进一步的思考。上述作图过程是在无坐标系的情况下完成，也就是作图过程没有考虑卡西尼卵形线的代数形式，直觉上此问题涉及诸多的长度问题，应该可以在极坐标下作出其动态图形，恰如圆锥曲线在极坐标下的统一方程：是如此的和谐美妙，于是：先以所在直线为x轴，的中垂线为轴建立直角坐标系，设，再以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，，则有，进而卡西

4、尼卵形线的直角坐标方程为：此方程的对应曲线无法在几何画板中直接作出，（几何画板只能直接作出方程形如或的曲线），化为极坐标方程：即所以极坐标方程为：在极坐标系下依然无法直接作对应的曲线（几何画板在极坐标系下只能直接作出方程形如或的曲线），研究方程发现可以用来表示：，如果限定则：这样就可以作出对应曲线了：①作可变线段，通过点控制值；②作可变线段，通过点控制值；③作方程对应的曲线，如上图。问题依然存在，由于限定了，所以只能作出在直角坐标下第一象限的曲线，考虑到方程的用换方程不变、用换方程不变的特点，知道曲线既关于x轴对称，又关于y轴对称，因此根据对称性即可作出该曲线在第二、三、四象限的图形：通过改变

5、的值可以得到卡西尼卵形线的各种情形：乔凡尼卡西尼一位不愿接受哥白尼理论的著名天文学家，是他发现土星的卫星，他反对开普勒定律，认为行星运行的轨道不是椭圆，而是一种卵形线-----曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数，卡西尼卵形线因此而得名。　3.几点反思几何画板作为一款多媒体教学辅助软件，不仅是一种课件制作工具，更是一种数学实验研究的平台（叶中豪语），是教师与学生进行创新性思维活动的平台，这也是中学教师存在大量“板迷”的原因；随着教改进一步深入，学生的自主学习意识逐步加强，具有强烈质疑精神的学生开始增多，一线教师越来越发现学生中越来越多的“为什么”，而且教师很难用简单的方法加以应付，这就

6、要求我们必须进一步的学习研究，“被迫”成长，必须进步。希望通过自己简单的工作能够引发学生对数学学习研究的兴趣，也是本文目的所在。参考文献：①《椭圆——卡西尼卵形线》李仲来,宋煜《数学的实践与认识》2003年第02期②《新型三曲线机构与卡西尼卵形线》王国玉《陕西工学院学报》1993年02期