巧用S△公式解题例说

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1、坊用么式解題例换、巧用面积比我们知道：SA=-ah,由此公式可知：2a、等（同）底等（同）高的三角形面积相等；b、同（等）底三角形的面积比等于对应高之比；c、同（等）高的三角形的面积比等于对应底之比。对于相似三角形，我们还有：相似三角形的面积比等于相似比的平方。例1已知:如图1,BD1AC,AB,且CE=BDo求证：AB=ACo利用这些面积关系解题，具有直观、简便、灵活、新颖的特点，试看儿例：证明:•Sacab=Sabac9即丄AB・CE」AC・BD,22又JCE=BD,•••AB=ACo评议：例L一般先用全等三角形知识求证，也可用四点共圆求证，但用s△公式

2、求证再简单不过了，很好。例2如图2,AD是AABC的角平分线。求证：也=ACBDOCD证明：作DE丄AB于E,DF丄AC于F。•••AD平分ZBAC,•••DE=DF,•SaadrAB•-瓦矿庇XVAABD与AACD同高，由⑴、⑵得,旻=鲁。淇2评议：例2的结论就是重要的三角形内角平分线性质定理。传统证法是利用等腰三角形性质、平行线的判定及平行线分线段成比例定理等知识求证，所用知识较多，而上述证法,所用知识单一，证明过程简捷,较优。思考：请用S△面积法证明平分线分线段成比例定理（即如图3,h〃12〃13,求证：空=匹）。BCEF二、巧用面积和关于图形面积，

3、我们有：一个图形的面积等于它的各部分面积Z和。巧妙地利用这一性质解题,往往能起到化繁为简,化难为易的效果。例3如图4,正方形PQRT内接"FAABC,已知ZXATR,ABTP,ACQR的面积分别为Si=l,S2=3,S3=l,那么正方形PQRT的边长是（）oA>V2B>73C、2D、3解：设正方形PQRT的边长为x,作AABC的高AD,交RTE。在8TR中,由S^lRT-AE,得AE=^=

4、O同理，BP=@,QC=?。XX/.Saabc=-BC•AD=-(-+x+-)(-+x)=丄22xxx2(x2+10+i

5、),同吋Saabc=S1+S2+S3+S正方形P

6、QRT=5+x•••IW+10+岁)=5+xx=16,x=2o故选C。三、巧用s△公式的不同表达形式常见的三角形面积公式有：a、S△眦="h；b、(a+b+c)T=^£(其中r、R分别为ZABC24R的内切圆、外接圆半径)；c、Saabc=-absinC二丄bcsinA=-acsinBo222在几何证明中可利用这些公式作为桥梁，使证明转化为量的计算，从而找到证题的方法。例4已知ZXABC中，三边上的高分别为g,hb,hc,内切圆半径为r,且ha+hb+hc=9ro求证：AABC为等边三角形。分析：已知是二角形的二条咼与内切圆半径的关系，结论是证AABC

7、为等边三角形，即证三边相等。联想到三角形面积与内切圆半径和高均有关系，所以用三角形面积作为桥梁能使已知和结论之间产牛联系。破题思路：•••SAABc=

8、aha=lbhb=

9、chc,ha+hb+hc=2SaABC(丄+丄+丄)=9roabc乂TSaabc—--(a+b+c)r,2(a+b+c)(-+-+-)r=9r,abc2+£+纟+£+纟+2-6二0,aabbccAI)E图5=汁尹汁弹汁寸na=b=c°•••AABC为等边三角形。例5如图5,已知ZSABC中，ZACB=90°,CD是高，CE是角平分线，AC=6,BC=8,求CD、CE的长。分析：例5本可以用

10、射影定理求解，但用面积法，则更为简便。解：如图5,由勾股泄理有AB=7ac2+bc2=10o•••丄AB・CD=1AC・BC,22CD=^C>gC=6x8=4>goAB10XV丄AC・CEsin45°+丄CE・BCsin45°=^AC・BC,222丄BD于E,PF±AC于F。求证：PE+PF=AB。综上所述，巧用S△面积法解题的关键有三：（1）应用转化思想，通过添设辅助线把问题转化为三角形的面积问题；（2）应用三角形的面积比和线段比的关系定理，把线段比转化为面积比；（3）应用面积的剖分、组合原理，结合面积公式引入方程，用代数方法来计算或证明几何问题。