巧用“联想”解题

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1、巧用“联想”解题联想是一个由此及彼的心理过程，解题时总是先细致观察题目的题意和细微之处，充分挖掘隐蔽条件，然后深入分析因果关系，与此同时通过积极的联想，找到已知和未知、新与旧、复杂与简单的联系，灵活运用一些问题的解法或结论去展开联想，往往能使问题迎刃而解。　　例1，求证：1=0.9。　　证明：设0.9=x，则10x=10×0.9=9.9=9x，解得x＝1，∴1=0.9。　　这是一道有趣的证明题，题目中是以x替换0.9，给了我们一个启迪，使我们联想到下一问题的解决。　　例2，证明：＜（a＞0）。　　分析：本题若按常规方法，从外向内逐个去根号，则势必陷入死胡同，现根据题目特征，转换思维方式，展开

2、联想，构造数列可使问题迎刃而解。　　证明：令tn=，则可构造数列tn2＝tn-1＋a　　（n≥2，n∈N）。　　又∵tn-1＜tn（n≥2，n∈N），∴tn2＝tn-1＋a＜tn＋a，∴tn2－tn－a＜0。　　又∵tn＞0，∴。　　例3，从和式中必须除去哪些项，　　才能使余下的项等于1。　　解：由于除去的项及项数未知，所以不宜直接计算，将和式改成：　　从变形中联想到（n∈N*），则本题可解出：　　∴只须除去、。　　例4，解不等式。　　解：原不等式可化为，由此我们　　联想到函数f（u）＝u3＋5u，则原不等式化为，　　即。　　又∵f（u）是奇函数且为增函数，∴＞f(－x)，　　∴。　　∴，∴

3、x＞－1。　　例5，已知正数a，A，b，B，c，C满足条件a＋A＝b＋B＝c＋C＝k。　　求证：aA＋bB＋cC＜k2。　　证明：原条件可化为a－k＋A＝0，由此我们联想到方程　　ax2－kx＋A＝0有根为1，∴Δ＝k2－4aA≥0，即aA≤，　　同理bB≤，cC≤，∴aA＋bB＋cC＜＜k2。　　例6，曲线l将正ΔABC分为等面积的两部分（如图1）。　　求证：l≥（其中l为曲线长，a为正ΔABC边长）。　　证明：题目乍一看，毫无头绪，如补成图2，则问题就能化为曲线l'＝6l，将正六边形分成等面积的两部分，求证l'≥　　，此时，曲线所围成的面积为定值，　　这时联想到面积相等的图形以圆的周长最

4、小，所以曲线l'面积为最小时，则是以A为圆心的圆，设其半径为R，则SA＝πR2，　　πR2＝，所以R＝，∴l'≥2πR＝2π，　　又∵l'＝6l，∴l≥。　　上题的解法较为灵活，是通过联想加上数形转换而得出证明，所以解题时，思维一定要向外拓展，积极联想，并在“灵”字上下工夫，这样往往能得出简捷的解题方法。　　〔责任编辑：王以富〕