数学解题策略例说

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1、数学解题策略例说江苏省太仓高级中V徐彩娥学数学离不开解题，解题离不开解题策略，而对一道数学题，我们应如何合理探求解题思路呢？对此本文作些探讨，仅供参考。一.着眼“定义”事半功倍定义是揭示概念内涵的逻辑方法，优先考虑从定义入手解题，注意挖掘隐含条件，往往可找到解题途径，简化解题途径。XV例1・已知椭ISI—+—=1,A(4,0),B(2,2)是椭圆内的两点，P是椭圆上任一259点,求：(1)-PAMPB的最小值；4(2)IP4I+IPBI的最小值和最人值。(1)如图I，A为椭圆的右焦点，作PQ丄右准线于点Q,则山椭圆的第二定义PA

2、4—Q—PQ5:.^PAMPB=PQMPB问题转化为在椭圆上找一点P,使其到点B和右准线的距离Z和最小，很明显，点P应17是过B向右准线作垂线与椭恻的交点，最小值为一。4(2)由椭圆的第一定义,设C为椭圆的左焦点，贝\PA=2a-PC:.PAMPB=2a-PC+PB=1O(IPBI-IPCI)根据三角形中，两边Z差小于第三边，当P运动到与B、C成一条直线时，便可取得最大和最小值。即-IBCI

3、0+IBCI=10+2V10；当P到P，位置时,IPBI-IPCI=-IBCI,PAMPB有最小值,最小值为10-IBCI=10-2710o一.整体思想简化运算整体思想伴随着优化、审美的意识：冲破常规束缚，优先考虑整体把握，宏观处理问题,可避开分类，绕开讨论，简化运算，减缩思维过程。例2・如下图2,A、B、C、D为海上的四个小附，要建三座桥，将这四个岛连接起来,不同的建桥方案共有分析：六条可把每个岛之间连接起来，这六条线中取三座桥佇C；种方法，减去不能把四个岛连接起来的情况(A、B、C、B、C、D、A、C、D、A、B、D),箱(7；

4、—4=16种建桥方案。例3・方程J(x+3)2+(y-l)2=

5、兀一)‘，+31所表示的曲线是()A.lw

6、B.椭圜C.抛物线D.双曲线分析：两边平方，再化简是常规思路，但结果含有xy项，不好判断，把原方程改写为』(卄3)-+(丁1)-=迈,则问题化归为动点p(X,y)到定点(-3,1)与到定直线x-y+31~1T~x-y+3=0的距离之比为V2的轨迹问题，由圆锥曲线定义知点P的轨迹为双曲线，选Do一.范围优先力避错误1.重视数学解题过程屮保持变量范围的等价性，是变量范围的重要特征。例4・已知正实数a、b、c,满足a+b+c=l,求丄

7、+丄+丄的最小值。abc错解：由67+->2,b+丄>2,c+->2①abc三式相加得(一+—+-)+(a+/?+c)n6②abc把已知代入得a+b-^c=1②得-+-+->5abcA-+-+-的最小值是5abc剖析：运用非严格不等式的运算性质，一定要注意探讨等式成立的条件，木例只有①中的等号同时成立，即a=h=c=1时，②中的等号才成立，这与a+b+c=I才厉，所以②屮的等号不成立。木例的正确答案是9而非5。2.避免主观臆断，觅视从条件中挖掘隐含的变量范I韦I，是变量范I韦I的觅耍内容。例5・求下列函数的奇偶性⑴心2据(2)/(%)=

8、J1-兀$lx+21-2判断函数的奇偶性问题，极易犯两种错误，一是忽视定义域关于原点对称的必要条件,二是仅从形式判断函数关系式是否满足奇偶函数的定义。(-x-2)—V2+x/./(x)=/(-x),/(x)是偶函数(2)v/(-x)=J—(-b—x+21—2Vl-X2I—x+21—2•••/（一兀）*（兀）,故/（兀）为非奇偶函数2+jv剖析：（1）错因在于忽视对定义域的优先考虑，由——no得-2

9、为[-1,0）5°，1]于是/匕）=反己从而易知是奇函数X一.赋值探路水到渠成1.在作二项式定理有关问题时，往往遇到二项式系数和以及项的系数和的一些问题,如果从特值考虑，合理取值，将使解题更便捷，求解更直接。例6・已知（1一2兀）7=。0+。]兀+。2兀2+・・・+。7兀7,求：（1）6Z]+Clj+G彳+••・+。7；（3）aQ+a2+為+a6o分析：木题对x取不同的值，求得某些系数的和。令X=19贝^為+⑷+勺+如+…+。7=—1①令x=—1,贝ija（）—%+q°—角+…—如=3?②（1）令x=0得aQ=1/•671+a?+Q3+

10、…+。7=一2（2）（①一②）4-2：ax+03+心+如=-1094（①+②）4-2：do+a2+a4+a6=1093点评：以上运用的是赋值法，它的模式是对任意XWA,某式子恒成立，那么対A中的特殊值，该式