例说数学解题策略

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1、例说数学解题策略首都师大附中李大永如果我们在学习过程中长期处于题型的模仿性训练状态，而缺少自己的研究性学习和思考，对高考中所出现的一类背景新颖、构思精巧、思维与能力立意的试题就会显得束手无策，缺少解决的办法和思路.尽管题型的归类和常规问题的解决方法的归纳无疑对我们的考试是非常冇帮助的，但是，我们永远也无法通过题型來覆盖所有数学问题•因此,在数学学习中,在我们熟练掌握各种常规问题的解题思想和方法后，还应着眼于自身数学思维能力的培养与提高，注重数学解题的思维策略的使用.思维策略的价值就在于当我们面对一个问题，处于一筹莫展时，它给我们指引一

2、个行动的方向，使我们拨开重重迷雾，发现解题的光明之路；当我们在在繁杂的运算中不能白拔时，思维策略会给我们指引一个挣脱运算的途径.策略一：回到定义去（弄清题目所涉及的概念）〔］XGA/【例1】函数九‘⑴的定义域为R,其定义如下：几（力=J（其中M为非空数集［0在实数集7?上有两个非空真子集力』满足A^B=0t则函数F（兀）=力》⑴+1的值域为（B）刀（兀）+厶（兀）+1A.{0}B.{1}C.{0,l}D.0【分析】新定义类问题，应关注对定义的理解，反复阅读直至却是理解后再做题.【例2］（上海卷理14）将函数y=a/4+6x-x2-2

3、（xe［0,6］）的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角0（Q<0

4、）=cot0=§【例31(2009江西卷理12)设函数f(x)=Jax^bx+cd<0)的定义域为D,若所有点gD)构成一个正方形区域，则Q的值为A.—2B.—4C.—8D.不能确定【分析】弄懂“所有点(5,/(/))(5,/gD)构成一个正方形区域”所指是木题的前提！明白其所指为“定义域与值域的相同区间长度相同”后，结合本函数的解析式可得：IXI-x21=Znax(x)>『=J"；/'SA2启，a=-4,选B【例4】已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数图象如下图,则y=f(xy=g(x)的图象可能是(B)yF（号y卜VJ^y

5、=g（x）y夕y严形y/y^k0x0Xor0工OXABCD【分析】考虑导数的几何意义，依据两导函数图象可得原函数在x=x0处切线斜率相等，而且y=f(x),y=g(x)的切线斜率一增一减.所以选B.关于凹凸性的再解释。策略二：重新表述问题(使问题逐步变得清晰明了、简单熟悉)【例5】过点/(1,0)』(4,4)且与直线/:x=-l相切的圆有()A0个B1个C2个D3个【分析】可以按部就班地进行，先求出中垂线方程，设出圆心坐标和半径，用圆心到直线/距离等于到/点的距离解方程，看解的个数.这样的计算量比较大，虽可以解决问题，但对于做选择题

6、来讲并不理想.注意到本题只问圆的个数并不需求出圆的方程，采取作图分析：圆心M所需满足条件：在昇〃屮垂线上，且需满足圆心M到点/距离与到直线/距离相等(是在以/为焦点，/为准线的抛物线上)，因此，问题可以重新表述为“4B中垂线与抛物线y2=4x冇几个交点？”而这从图形位置关系一冃了然！【例6](四川卷理9)已知直线厶：4x—3尹+6=0和直线厶：x=—1,抛物线/=4%上一动点P到直线和直线厶的距离之和的最小值是1137A.2B.3C.—D.—516【分析】直线/2:x=-l为抛物线y2=4x的准线，由抛物线的定义知，P到厶的距离等于P

7、到抛物线的焦点F(1,O)的距离.小值为F(1,O)到直线/1:4x-3y+6=0的距离,即dmin14—0+615=2,故选样A.故重新表述问题：为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F(1,O)和直线厶的距离之和最小，最【例7】设函数/(%)=ax3-3x+1(xgA),若对于任意的x6［-1,1］都有/(x)>0成立，贝0实数Q的值为【分析】木题若通过谈论函数/(x)的最小值来解决，相当于在解一•道大题.31①(参变量分离)重新表述为“对于任意的"［—1,0)都冇t7>—--成立，且对于任意的XG(0,l］都疋X31有67<

8、—一一成立，且对于X=0,1〉0成立”.下面讨论求解：若兀=0,则不论a取何值，/(兀)》o显然成立；31当x>0即xg(0,1］时，f(x)=ax3-3x+l>0可化为a>—一一r设g(x)=2_A，则g(巧=3卩严X