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1、高中数学教与学2007年例说空间轨迹问题的解题策略蔡勇全(四川省资阳市雁江区中和中学,641321)空间轨迹问题是近几年来高考中涌现出(A)直线(B)圆的一个新亮点,而且命题大多呈现在知识点(C)双曲线(D)椭圆的交汇处.本文将就其常用的解题策略举例解因为D1C1⊥平面BB1C1C,所以说明,以飨读者.D1C1⊥PC1,点P到直线C1D1的距离为PC1、策略1巧用定义法于是问题的条件转化为在平面BB1C1C内,点例1在正P到点C1的距离与点P到直线BC的距离之比方体ABCD-1为,由椭圆第二定义可知,动点P的轨迹为A1B1C1D1中,点P2在面BCC1B1及椭圆,
2、故应选D.其边界上运动,例2正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为若P到直线BC与1,点M在棱AB上,且AM=1,点P是平面3直线C1D1的距离ABCD上的动点,且动点P到直线A1D1的距离之比为2∶1,则动点P的轨迹为()11111上确定一点P,使得PF与CD所成的角是60°.1-+-+-+324351111-+-这一段得相消规律是4657“余下的是最前两个括号中的正项和最后两个括号中的负项”,由此类推得111S=1+2--.2nn+23.关注变化中的不变关系分析如图6建立坐标系,则C(0,0,0),22例8已知圆M:x+(y-2)=1的弦D(2,0,0),F
3、(2,2,1),设P(t,t,0)(0≤tAB所在直线的方程ax-2y+3=0,当a变化≤2),则时,动弦AB的中点轨迹为()PF=(2-t,2-t,1),CD=(2,0,0),分析弦AB虽在动,但总过定点因为PF与CD所成的角为60°,所以有3N0,,且圆心M为(0,2),AB的中点与圆2
4、(2-t)·2
5、1=.心M的连线与弦AB始终垂直,故动弦AB的中222(2-t)+(2-t)+1·2点轨迹是以MN为直径的圆.232解之得t=,t=(舍去),即点P为例9已知正方形ABCD和矩形ACEF所在22的平面互相垂直,AB=2,AF=1,试在线段ACAC的中点.·20
6、·第11期高中数学教与学与动点P到点M的距离的平方差为1,则动点1=(SA1B1BA-S&A1B1EP的轨迹是()3(A)圆(B)抛物线-S&HBE-S&A1AH)·D1A1(C)双曲线(D)直线=1×3×2=1.32解设PF⊥A1D1,垂足为F,过点P作∴F是所求轨迹上的一个特殊点.又HFPE⊥AD,垂足为E,连接EF,则AD⊥平面2∥平面A1D1E,因而HF上任一点K都使得PEF,∴AD⊥EF,即EF∥AA1.∵
7、PF
8、-2222VK-A1D1E=1,故动点K的轨迹为线段HF.
9、PM
10、=1,且
11、PF
12、-
13、PE
14、=
15、EF
16、=评注在用取特殊点法探究轨迹问题1,∴
17、
18、PE
19、=
20、PM
21、,由抛物线定义知点P的时,必须选择合适的两点或多点,以便得出所轨迹是以点M为焦点,AD为准线的抛物线,故有动点具有的某种共性.应选B.策略4降维转化法策略2动中取静法例5若三棱锥A-BCD的侧面ABC内例3已知直平行六面体ABCD-一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距A1B1C1D1的各条棱长均为3,∠BAD=60°,长离相等,则动点P的轨迹与&ABC组成的图形为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动,可能是().另一端点N在底面ABCD上运动,则MN的中点P的轨迹(曲面)与共一顶点D的三个面所围成的几何体的体积为()24(A)π(B)π992
22、4(C)π(D)π33分析由于N是运动的,故动点P的轨迹的解决必须在“动”中求“静”.在Rt&MDN1中,PD=MN=1为定值,所以动点P的轨2迹是以D为球心,半径为1的球面在直平行六4311面体内的部分,体积为π·1××=323解设三棱锥侧面ABC与底面BCD所2成的角为θ,P到BC的距离为m,P到底面的距π,故选A.9离为h,则h=msinθ,所以P到BC的距离与策略3取特殊点法.P到AB的距离之比为常数,P的轨迹为直线且例4棱长为2的正方体AC1中,E为BB1P到BC的距离较大,应选D.的中点,在正方形ABCD内是否存在点K使得例6已知P是正三棱锥S-ABC
23、的侧面三棱锥K-A1D1E的体积为1?若存在,求出点SBC内一点,P到底面的距离与到点S的距离K的轨迹,若不存在,说明理由.相等,则动点P的轨迹所在的曲线是().分析取特殊点F(CD的中点),计算(A)圆(B)抛物线VF-A1D1E的值是否为1.设AB的中点H,因为(C)椭圆(D)双曲线HF∥A1D1,所以解过P作PG⊥BC,垂足为G;设P在VF-A1D1E=VH-A1D1E=VD1-A1HE,平面ABC内射影为H,连HG,则HG⊥BC,1∠PGH为二面角S-BC-A的平面角.设VD1-A1HE=S&A1HE·D1A13·21·高中数学教与学2007年PH盛装的,
24、易拉罐是近
