巧用公式n(n-1)除以2解题.doc

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1、巧用公式n(n-1)/2解题河北省沧州市青县曹寺中学赵虹影（邮编062650）初三的复习是紧张而忙碌的，因此要想把整个初中阶段所学知识都能牢固的掌握，就要把一些题型进行归类整理。现在就一些有相同解题思路的题型做一整理，以便大家共同探讨。一：数线段如图所示：图中共有（）条线段。这道题我们可以采用最基本的方法去一条一条的数，但这种方法有费时间有容易丢拉。如果我们掌握了数线段的方法就可以轻松解决了。方法就是：线段上一共有n个点（包括两端点），每个点都与其余的（n-1）个点组成一条线段，这样就有n(n-1)条线段，但每条线段都重复了一次，所以就有n(n-1)/2条线段。按照如上

2、方法我们可以知道上面这道题共有6×（6-1）÷2=15条线段。题型变换：线段上没有点（不包括两端点），共有（）条线段；线段上有一个点时，共有（）条线段；线段上有两个点时，共有（）条线段；线段上有三个点时，共有（）条线段；线段上有m个点时，共有（）条线段。这道题和上面的那道是一样的，只不过这里两个端点没有算，所以我们计算时只要将题中所说的点数加上2，再按上面的公式n(n-1)/2计算就可以了，因此线段上有m个点时，共有(m+2)(m+1)/2条线段。二：数角O如图所示：图中共有（）个角。此题和上面的数线段一样，可以用最原始的方法，一个一个的去数，当然也有既简便又不容易出错

3、的方法。可以这样想：从O点引出n条射线中的每一条射线都与其它的(n-1)条射线组成一个角，因此有n(n-1)个角，但是每个角都重复了一次，所以有n(n-1)/2个角。所以这道题中共有6个角。题型变换：（1）在角的内部引一条射线，如下图①中的角共有（）个；（2）若引两条射线，如图②中的角共有（）个；（3）若引10条射线，如图③中的角共有（）个；若引n条射线，图④中的角共有（）个。①②③④此题和上面那道数角的题的不同之处是，这道题是说的从角的内部引射线，而上题是把所有从顶点引出的线都算上了，所以这道题只要在内部线条数的基础上再加上最外端的两条就行了。所以①图中有3个角，②图

4、中有6个角，③图中有（10+2）（10+1）/2=66个角，④图中共有（n+2）(n+1)/2个角。三：数车票从A市到B市要经过4个车站（不包括A市和B市），问从A市到B市需准备多少种火车票？这道题实质是数线段问题，可以结合图因为这道题中的4个站没有包括A市和B市，所以把两个站加上共6个站。因此为n(n-1)/2=6×(6-1)÷2=15种车票。我们可以这样理解，n个车站中的每个站都需准备通向其余(n-1)个站的车票，这样就有n(n-1)种，但这里只问的是A市到B市的车票，也就是单程的，因此要除以2，因此就是运用n(n-1)/2去解题。题型变换：A城与B城均在京沪铁路上

5、，它们之间又有C，D两个火车站，问A，B两城之间需要准备多少种火车票？这道题看似和上题没有什么差别，但是仔细读题之后能发现上道题是求单程车票数，而这道题是求往返车票数，所以就不应该除以2了，用公式n(n-1)来解。画图可以看出共4个站，所以4×（4-1）=12钟车票。四：数握手次数有15个同学为了表示问候每两个同学都要握手一次，问这些同学一共握手多少次？这道题要是一个一个去算，就麻烦了。我们可以理解：有n个同学，每个同学都要与其余(n-1)个同学握手一次，这样就握手n(n-1)次，但握手次数都重复一次，因此用n(n-1)/2.所以这些同学一共握手15×（15-1）÷2=

6、105次。五：数交点个数2条直线相交只有1交点，3条直线相交最多有3交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点……，n条直线相交最多有多少个交点？前四个问题我们可以直接数出来，但后面的就不那么容易了，我们可以学习方法：n条直线中每一条都与其余（n-1）条直线有一个交点，因此有n(n-1)个交点，但都重复了一次，所以n条直线最多能有n(n-1)/2个交点。如上我们仅简单的分析了几种应用n(n-1)/2公式来巧妙解题的方法，而我们在今后的学习中，关于这个公式的应用还会有很多值得我们探究的地方。因此我们要不断的积累知识，灵活运用。