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时间:2020-03-15
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1、巧用公式n(n-1)/2解题河北省沧州市青县曹寺中学赵虹影(邮编062650)初三的复习是紧张而忙碌的,因此要想把整个初中阶段所学知识都能牢固的掌握,就要把一些题型进行归类整理。现在就一些有相同解题思路的题型做一整理,以便大家共同探讨。一:数线段如图所示:图中共有()条线段。这道题我们可以采用最基本的方法去一条一条的数,但这种方法有费时间有容易丢拉。如果我们掌握了数线段的方法就可以轻松解决了。方法就是:线段上一共有n个点(包括两端点),每个点都与其余的(n-1)个点组成一条线段,这样就有n(n-1)条线段,但每条线段都重复了一次,所以就有n(n-1)/2条线段。按照如上
2、方法我们可以知道上面这道题共有6×(6-1)÷2=15条线段。题型变换:线段上没有点(不包括两端点),共有()条线段;线段上有一个点时,共有()条线段;线段上有两个点时,共有()条线段;线段上有三个点时,共有()条线段;线段上有m个点时,共有()条线段。这道题和上面的那道是一样的,只不过这里两个端点没有算,所以我们计算时只要将题中所说的点数加上2,再按上面的公式n(n-1)/2计算就可以了,因此线段上有m个点时,共有(m+2)(m+1)/2条线段。二:数角O如图所示:图中共有()个角。此题和上面的数线段一样,可以用最原始的方法,一个一个的去数,当然也有既简便又不容易出错
3、的方法。可以这样想:从O点引出n条射线中的每一条射线都与其它的(n-1)条射线组成一个角,因此有n(n-1)个角,但是每个角都重复了一次,所以有n(n-1)/2个角。所以这道题中共有6个角。题型变换:(1)在角的内部引一条射线,如下图①中的角共有()个;(2)若引两条射线,如图②中的角共有()个;(3)若引10条射线,如图③中的角共有()个;若引n条射线,图④中的角共有()个。①②③④此题和上面那道数角的题的不同之处是,这道题是说的从角的内部引射线,而上题是把所有从顶点引出的线都算上了,所以这道题只要在内部线条数的基础上再加上最外端的两条就行了。所以①图中有3个角,②图
4、中有6个角,③图中有(10+2)(10+1)/2=66个角,④图中共有(n+2)(n+1)/2个角。三:数车票从A市到B市要经过4个车站(不包括A市和B市),问从A市到B市需准备多少种火车票?这道题实质是数线段问题,可以结合图因为这道题中的4个站没有包括A市和B市,所以把两个站加上共6个站。因此为n(n-1)/2=6×(6-1)÷2=15种车票。我们可以这样理解,n个车站中的每个站都需准备通向其余(n-1)个站的车票,这样就有n(n-1)种,但这里只问的是A市到B市的车票,也就是单程的,因此要除以2,因此就是运用n(n-1)/2去解题。题型变换:A城与B城均在京沪铁路上
5、,它们之间又有C,D两个火车站,问A,B两城之间需要准备多少种火车票?这道题看似和上题没有什么差别,但是仔细读题之后能发现上道题是求单程车票数,而这道题是求往返车票数,所以就不应该除以2了,用公式n(n-1)来解。画图可以看出共4个站,所以4×(4-1)=12钟车票。四:数握手次数有15个同学为了表示问候每两个同学都要握手一次,问这些同学一共握手多少次?这道题要是一个一个去算,就麻烦了。我们可以理解:有n个同学,每个同学都要与其余(n-1)个同学握手一次,这样就握手n(n-1)次,但握手次数都重复一次,因此用n(n-1)/2.所以这些同学一共握手15×(15-1)÷2=
6、105次。五:数交点个数2条直线相交只有1交点,3条直线相交最多有3交点,4条直线相交最多有6个交点,5条直线相交最多有10个交点……,n条直线相交最多有多少个交点?前四个问题我们可以直接数出来,但后面的就不那么容易了,我们可以学习方法:n条直线中每一条都与其余(n-1)条直线有一个交点,因此有n(n-1)个交点,但都重复了一次,所以n条直线最多能有n(n-1)/2个交点。如上我们仅简单的分析了几种应用n(n-1)/2公式来巧妙解题的方法,而我们在今后的学习中,关于这个公式的应用还会有很多值得我们探究的地方。因此我们要不断的积累知识,灵活运用。
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